III. — Diamètres conjngnée

127. Deux diamètres, tels que le pôle de l'un se ti*ouve sur l'autre, sont dits conjugues ( '}. Ces pôles sont àTinfini; d'où il suit que chacun des deux diamètres est le lieu des milieux des cordes parallèles à l'autre. En effet, ces cordes, passant par un même point à l'infiLni, ont leurs milieux sur la polaire de ce point, c'est-à-dire sur le diamètre conjugue.

128. La polaire d'un point quelconque A, pris sur un diamètre, est pa^ rallèle au diamètre conjugué.

Car cette polaire passe par le pôle du diamètre sur lequel est le point A (108), c*est-a-dire par le point à l'infini du diamètre conjugué. La polaire est donc parallèle à ce diamètre conjugué. Il suit de là que la corde menée par le point A, parallèlement à la polaire, a son milieu en ce point.

129. Les tangentes menées par les extrémités d'un diamètre sont parallèles au diamètre conjugué*

Leur point de rencontre, situé à l'infini, est en effet le pôle du premier diamètre (120); ce point est donc sur le diamètre conjugué.

1 30. i^ Dans tout parallélogramme inscrit à une courbe du second ordre, les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués,

2® Dans tout parallélogramme circon^ p. ,g

scrit à une courbe du second ordre^ les ç>

diagonales sont deux diamètres conjugués,

I® Les diagonales du parallélogramme inscrit et celles du parallélogramme circonscrit sont des diamètres de la courbe, car leur point d'intersection a pour polaire la droite à l'infini (105, 124). Si nous menons par ce point d'intersection deux parallèles /7, q [fig, 38) aux côtés du parallélogramme inscrit, chacune des droites p et q passe par le milieu des

(») Les principales propriétés des diamètres conjugués étaient déjà connues d'ApoL- L0!iii;8. Nous nous bornerons à citer ici les deux beaux théorèmes contenus dans les propositions 13, q'>, 3o, 3i du Livre VIT.

Il8 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET X.

côtés qui sont parallèles à Tautre :p et q sont donc deux diamètres conjugués (127).

2? Les pôles des quatre côtés du parallélogramme inscrit sont situés sur les diamètres p et q (121). En d'autres termes, p et q sont les diagonales du quadrangle circonscrit dont les côtés touchent la courbe aux sommets du parallélogramme inscrit. Ce quadrangle circonscrit est aussi un parallélogramme, puisque les tangentes aux extrémités d'un diamètre sont parallèles (120).

131. On peut encore énoncer de la manière suivante la proposition (i*^) du numéro précédent :

Deux cordes menées d'un point quelconque d'une ellipse ou d'une hyperhole aux extrémités d'un diamètre sont parallèles à deux diamètres conjugués de la courbe.

Dès lors, si l'on se donne les directions de deux couples de diamètres conjugués et un point P d'une courbe du second ordre, on peut déterminer facilement cinq autres points de la courbe.

On mène le diamètre qui passe par le point donné P et l'on détermine le second point de rencontre Q de ce diamètre avec la courbe, en se fondant sur ce que le centre est le milieu de PQ. Sur PQ comme diagonale on construit deux parallélogrammes dont les côtés soient parallèles respectivement à chacun des deux systèmes de diamètres conjugués. Les deux couples de nouveaux sommets de ces parallélogrammes sont quatre nouveaux points de la courbe du second ordre.

pj 3g On obtient avec la même facilité cinq tangentes à

une courbe du second ordre, quand on connaît déjà / deux couples de diamètres conjugués et une tangente.

132. Si la courbe du second ordre proposée est un cercle, c'est-à-dire le lieu du sommet d'un angle droit AMB [fig. Sg), dont les côtés AM, BM pivotent autour de deux points fixes A et B, les côtés mobiles engendrent deux faisceaux égaux et, par suite, projectifs (59). La tangente en A est donc le rayon du premier faisceau qui correspond au rayon BA du second (73). Cette tangente doit, dès lors, faire avec BA un angle droit. La tangente en B sera pareillement perpendiculaire à AB. Les tangentes en

A et B étant parallèles, AB est un diamètre, et le point O, milieu de AB,

est le centre de la courbe proposée ( 123, 124- ).