IV. — Axes et sommets

133. Quand deux diamètres conjugués d'une courbe du second ordre sont rectangulaires, on leur donne le nom ^axes; on appelle sommets les points où la courbe est rencontrée par les axes.

Fig. 4o.

134. Un axe peut encore être défini comme un diamètre de la courbe du second ordre, perpendiculaire aux cordes qui lui sont conjuguées et qu'il divise en parties égales. Tout axe divise une courbe du second ordre en deux parties symétriques.

135. Pour construire les axes d'une hyperbole ou d'une ellipse, on procède de la manière suivante :

Sur un diamètre AB de la courbe [fig. ^o ] et de son centre, on décrit un cercle qui coupe les tangentes et la courbe elle-même aux extrémités A et B. Chacun des deux demi-cercles séparés par le diamètre est en partie à l'intérieur de la courbe, en partie à l'extérieur, et coupe dès lors la courbe en un point. Les quatre points d'intersection du cercle avec la courbe sont les sommets d'un rectangle inscrit, aux côtés duquel les axes cherchés sont parallèles.

Il résulte de cette construction que l'ellipse et l'hyperbole ont deux axes.

L'hyperbole est coupée par un seul de ses axes en deux sommets. L'ellipse a quatre sommets, car elle est coupée par ses deux axes. La parabole n'a qu'un sommet propre, car elle est coupée la seconde fois par son axe au point à rinfini.

136. Deux droites conjuguées sont harmoniquement séparées parles deux tangentes qui peuvent être menées de leur point d'intersection à la courbe du second ordre (112). Donc :

Deujc diamètres conjugués de l 'hyperbole sont harmoniquement séparés par les asymptotes.

Un seul de ces diamètres coupe la courbe.

Les axes de l' hyperbole sont les bissectrices des angles formés par les asymptotes (36).

Les asymptotes limitent, sur toute droite parallèle à l'un des deux diamètres conjugués, un segment dont le milieu est sur l'autre diamètre (36). Si la droite coupe la courbe, ou si elle la touche, le point milieu de la corde, ou le point de contact de la tangente, coïncide avec le milieu du segment (127). Donc :

Les deux segments de toute sécante à une hyperbole, compris entre la courbe et ses deux asymptotes, sont égaux.

Cette propriété permet de construire très^mplement l'hyperbole, quand on donne les asymptotes et un point propre. On peut trouver, en effet, le second point de la courbe, situé sur toute sécante qui passe par le point donné.

Le segment d'une tangente à l'hyperbole compris entre les asymptotes est divisé en deux parties égales par le point de contact.