IV. — Éléments harmoniqaes

147. Quatre génératrices d'un même système sont dites harmoniques quand elles sont coupées par une directrice en quatre points harmoniques.

Deux directrices, çv, fV|, sont coupées par le système de génératrices suivant deux ponctuelles projectives (146); dès lors :

Si quatre génératrices rencontrent çv en quatre points harmoniques y elles rencontreront toutes les autres directrices en quatre points harmoniques.

Les quatre plans qui projettent de çV| les quatre génératrices considérées sont harmoniques, car ils sont rencontrés par w en quatre points harmoniques; donc, quatre génératrices harmoniques sont projetées d'une directrice quelconque par quatre plans harmoniques.

Trois rayons a, by c, dont deux quelconques ne sont pas dans un même plan, déterminent un quatrième rayon harmonique d, qui est séparé de l'un des trois premiers, de b par exemple. Si, sur Tune quelconque des droites qui coupent les trois rayons donnés, nous déterminons le quatrième point harmonique aux trois points d'intersection, ce quatrième point sera sur d. En général, d est un quatrième rayon du système de droites auquel appartiennent les rayons a, &, c, et il est, dans ce système, harmoniquement séparé de b par a et c.