III. — Formes élémentaires perspectives

158. La notion de perspectivité des formes fondamentales simples peut aussi être étendue aux formes élémentaires en général.

Deux formes élémentaires projectix/es d'espèces dijfférentes sont dites perspectives quand tout élément de l'une est situé sur l'élément correspondant de t autre.

Par exemple, une courbe du second ordre est perspective à une surface conique qui la contient, si à tout rayon de la surface correspond le point de la courbe situé sur ce rayon.

Une courbe du second ordre est projetée, de l'un quelconque de ses points, au moyen d'un faisceau de rayons qui lui est perspectif. Un faisceau de rayons du second ordre est coupé, par l'un quelconque de ses rayons, suivant une ponctuelle qui lui est perspective. Un système de droites génératrices d'une surface doublement rectiligne est coupé dans les mêmes conditions par Tune quelconque de ses directrices, et ainsi de suite.

Deux formes élémentaires, dont Tune est ainsi engendrée au moyen de l'autre, sont projectives; car à quatre éléments harmoniques quelconques de l'une correspondent quatre éléments harmoniques dans l'autre.

Si à chaque point de la courbe du second ordre correspond la tangente en ce même point, la courbe est rapportée perspectivcment au faisceau de rayons qui l'enveloppe, et quatre points

l36 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XII.

harmoDiques de la courbe sont les points de contact de quatre rayons harmoniques du faisceau. Par suite :

Deux courbes du second ordre sont projectwes, si les deiur faisceaux de rayons qui les enveloppent sont projectifs.

IV.— Relation entre les formes dn second ordre et les formes fondamentales simples proJectiTes qni les engendrent.

159. Une forme du second ordre est engendrée par deux formes fondamentales simples projectives entre elles. Ces deux formes fondamentales sont elles-mêmes projectives et perspectives à la forme du second ordre, pourvu qu'un élément quelconque de celle-ci soit assigné comme correspondant aux deux éléments qui Tengendrent.

Quand deux formes du second ordre sont projectis^es, chacune des formes de la première espèce qui engendrent F une est projectile à chacune de celles qui engendrent l'autre.

Les deux formes projectives du second ordre sont, en efiet, respectivement perspectives aux deux formes de la première espèce, projectives entre elles, qui les engendrent. Il suit de là (-47) que deux formes élémentaires projectii^es peui^ent toujours être considérées comme la première et la dernière d'une série déformes élémentaires dont chacune est perspectiv^e à la suis^ante.

Il en résulte aussi que, quand on établit la relation de projectivité entre deux formes élémentaires, on peut prendre arbitrairement trois couples d'éléments correspondants ; mais alors tout élément de Tune des formes a pour correspondant un élément unique et déterminé dans Tautre. Conséquemment :

Quand deux formes élémentaires projectives de la même espèce, par exemple deux courbes du second ordre, sont superposées, elles ont tous leurs éléments unis, ou deux éléments unis au plus.

COURBES PROJEGTIVES IDENTIQUES.

y. — Courbes da second ofdre rapportées projectiyement. Éléments correspondants commnns.

160. Deux courbes du second ordre y qui sont dans un même plan et qui ont un point S commun, sont rapportées projectivement entre elles si deux de leurs points, alignés avec S, se correspondent.

En efiety les deux courbes sont perspectives au faisceau S.

Les deux courbes ont, comme élément uni, chacun des points communs autres que S i le point S devient aussi un élément uni, lorsque les courbes ont une tangente commune en S et, par suite, se touchent mutuellement en ce point.

Deux courbes du second ordre, qui sont dans un même plan et qui ont une tangente s commune, sont rapportées projectivement entre elles, si deux de leurs tangentes, concourant avec s, se correspondent»

En effet, les faisceaux du second ordre qui enveloppent les courbes sont perspectifs à la ponctuelle s.

Les deux courbes ont, comme élément uni y chacune des tangentes communes autres que 5; la tangente s devient aussi un élément uni, lorsque les courbes la touchent en un même point et, par suite, se touchent mutuellement en ce point.

Deux courbes du second ordre, rapportées entre elles suivant le mode indiqué à gauche, ont tout au plus trois éléments unis ; car, si elles avaient, outre le point S, quatre points communs, ou trois points communs et une tangente commune en S, elles seraient identiques (72).

Pareillement, les courbes considérées à droite peuvent avoir, tout au plus, trois tangentes unies.