XV. — Cas de perspectiYité

176. Si deux formes telles qu'une courbe et un faisceau du second ordre, ou une surface conique et un faisceau de plans du second ordre, sont projectii/es, et si cinq éléments de l'une reposent sur les éléments qui leur correspondent dans l'autre, les deux formes sont perspectives.

Nous considérerons seulement le cas d'une courbe du second ordre «, projective à un faisceau de plans du second ordre S, et dont cinq points, A, B, C, D, E, sont respectivement sur les plans correspondants a, p, y, d, s du faisceau ; tous les autres cas peuvent être aisément ramenés à celui-là. Il suffira d'établir qu'on peut construire une forme de rayons qui soit en même temps perspective à la courbe et au faisceau de plans; car il sera ainsi démontré que tout point de la courbe est dans le plan du faisceau qui lui correspond.

Si le plan u de la courbe est un élément du faisceau S, la section de S par ce plan est un faisceau de rayons du premier ordre u(a/3y3e), perspectif à S, et perspectif aussi à la courbe a(ABGDE); car plus de trois de ses rayons passent par les points de la courbe qui leur correspondent (166).

Le point S est, dans ce cas, sur la courbe, eivice versa, si S est un point de la courbe, le plan u est un élément du faisceau S de plans. La courbe est, en effet, projetée du point S au moyen d'un faisceau de rayons du premier ordre, S ( ABCDE), qui est perspectif

lO.

au faisceau de plans S (aj3yde)y puisque plus de trois de ses rayons sont situés sur les plans de S qui leur correspondent.

Supposons maintenant que le point S ne soit pas situé sur la courbe, et que par conséquent le plan u de celle-ci n'appartienne pas au faisceau S de plans. Soit A| le point de la courbe qui est projeté de A par le plan a, c'est-à-dire le second point d'intersection de a avec la courbe (ce point coïncide avec A lorsque la courbe est touchée par a). Menons par A^ dans le plan a, une droite g, autre que AAj, et projetons de cette droite la courbe du second ordre , au moyen d'un faisceau de plans du premier ordre, g^(ABCDE). Ce faisceau et le faisceau de plans S du second ordre sont projectifs et ils ont le plan a uni ; ils engendrent donc un système de droites qui leur est perspectif (170) et qui est aussi perspectif à la courbe du second ordre, puisque quatre rayons du système passent par les points de la courbe qui leur correspondent (162).

177. Une courbe du second ordre A6CDE et un système de droites ahcde étant projectifs, sans être perspectifs , si deux points A, B de la courbe sont sur les rayons correspondants a^ b du système de droites y les deux formes engendrent un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif

Un faisceau de plans du second ordre et un système de droites étant projectifs^ sans être perspectifs, si deux plans du faisceau passent par les rayons correspondants du système de droites, les deux formes engendrent une ponctuelle, ou une courbe du second ordre, qui leur est perspective.

Les trois plans Ce, Drf, Ee, qui joignent les points C, D, E de la courbe aux rayons correspondants c, rf, e du système de droites, se coupent suivant une droite ou en un point, et le faisceau de plans qui projette, de cette droite ou de ce point d'intersection, le système de droites abcdcy est aussi perspectif à la courbe ABCDE(176).

178. Quand deux courbes projectives du second ordre, situées dans un même plan, ont deux points unis, ou bien elles engendrent un faisceau de rayons du premier ou du second ord^-e, qui leur est perspectif ou

Quand deux faisceaux projectifs de rayons du second ordre ont deux rayons unis, ou bien ils engendrent une ponctuelle ou une courbe du se* cond ordre, qui leur est perspective, ou bien il existe une droite qui n'ap-

CAS DE PERSPECTIVITÉ. 149

bien il existe un point qui n'est situé sur aucune des deux courbes et qui est en ligne droite avec deux points correspondants quelconques de celles-ci.

partient à aucun des deux faisceaux et qui est coupée au même point par deux rayons correspondants quelconques de ceux-ci»

En effet (à gauche) tout système de droites, perspectif à Tune des courbes, engendre avec Tautre (177) un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui est en| général coupé par le plan des courbes, suivant un faisceau de rayons du premier ou du second ordre.

Le dernier cas considéré dans la proposition ne se produit que si le faisceau de plans est du second ordre et s^il a son centre sur le plan des courbes.

l5o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIII.