I. — Définition générale
179. Considérons deux ponctuelles projectives superposées, n^ayant pas tous leurs éléments unis, et telles que, si un point Â, pris comme élément de Tune, correspond à un point A| de l'autre, le point A,, considéré comme élément de la première, corresponde
(') Plusieurs cas particuliers de la théorie de rinvolution étaient déjà connus des géomètres grecs. Quarante lemmcs environ du livre VII des Mathematicœ collectiones de Pappcs sont relatifs au Traité De determinata sectione d'ApoLLomcs, et rentrent aujourd'hui dans les nouvelles doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segments faits sur une droite par des systèmes de points. On n'aperçoit pas, au premier abord, la vraie signification de ces propositions, ni les rapports qui peuvent les rattacher à une même question ; mais on reconnaît, par un plus ample examen, qu'elles sont toutes relatives à la théorie de Vinvolution de six points, créée par Desargces, et devenue d'un ifsage si fréquent dans la Géométrie moderne. Ce ne sont pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale, qui a lieu entre six points; mais ce sont des propriétés de plusieurs relations que l'on peut aujourd'hui considérer comme des cas particuliers de cette relation générale.
Les propositions sa, 3g, 3o, 33, 34* 35, 36 et /|/|, par exemple, concernent une invo-
DÉFINITION GÉNÉRALE. l5l
encore au point A, pris comme élément de la seconde. On dit alors que les points A et A| se correspondent doublement.
lutioa de cinq points. On y considère deux systèmes de deux points conjugués, et leur point central; et l'on en déduit une autre relation entre les cinq points.
Pour conclure cette relation de la relation plus générale entre six points, il faut observer que le conjugué du cinquième point ou point central est à l'infini.
Les propositions 87 et 38 concernent une invotution de quatre points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point central.
La 3g* et la 4o* roulent sur une même propriété d'une involution de cinq points. On y considère deux systèmes de points conjugués et un point double.
Les 4i*> 4^* ®t 43* sont une relation entre deux systèmes de deux points conjugués «t leur point central; relation nouvelle, différente des relations connues de l'involution de six points.
Les douze propositions 4^» 4^i ••• ®^ ^^ expriment une autre relation générale entre deux systèmes de deux points conjugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propositions 4'» 4^ ^^ 4^ ^^ donnent que des corollaires de cette relation générale.
Desaacues est aujourd'hui reconnu, malgré ces précédents anciens, comme le véritable auteur de la théorie de Tinvolution. On lui doit le théorème suivant :
« Le produit des segments compris sur la transversale, entre un point de la conique et deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des segments compris entre le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un* rapport égal à celui des produits semblablement faits avec le second point de la conique situé sur la transversale. ^
Pascal, dans son Essai pour les coniques^ donne ce théorème « dont le premier inventeur est M. Desabcdes, un des grands esprits de ce temps, et des plus versés aux Blathématiques et entre autres aux coniques ». {Œuvres de Pascal^ t. IV, p. 4o8).
Le même théorème est énoncé par Beaugrand dans une lettre critique sur l'Ouvrage de Desaacues mis au jour en i636 sous le litre de : Brouillon proiect d'une atteinte aux événemens des rencontres d'un cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que Desarcces désignait sous le nom à* involution de six points la relation qui constitue son beau théorème.
L'examen de la méthode de Desarcues a été facilité, dans ces derniers temps, par la publication de ses Œuvres^ dont on est redevable à M. Poudra ( Œutrei de Dbsarcues, précédées d'une nouvelle biographie de Desargues, suivies de l'anafjrse des Ouvrages de Bosse, élève et ami de Desarcues ; de Notices sur Desarcues extraites de la vie de Dèscartes par Baillet ; de lettres de Descartes ; de Notices diverses sur Desarcues, par le P. CoLOJfiA, Pernettt, Poncelet et Chasles ; . . . et d 'un recueil très-rare de divers libelles publiés contre Desarcues. a vol. in-8. Paris, 1864 et 1876). Le Brouillon proiect cité plus haut, qui constitue l'œuvre principale de Desarcues (vol. I, p. io3-33o) a été découvert en i845Jpar Chasles, dans un manuscrit de La Hire, daté de 1679. On ignorait, avant cette découverte, jusqu'à quel point Desarcues avait poussé ses recherches de Géométrie moderne. La perte du Traité des coniques de Desargues et, bientôt après, la disparition du Traité des coniques de Pascal, fondé sur des considérations empruntées à Desarcues lui-même, ont causé un grand dommage aux progrès de la Science et à la connaissance historique des travaux du xvn* siècle. — Voir Chasles. Aperçu historique f etc. Bruxelles, 1S37, P* 39''4'i 77*791 Comptes rendus de l'Académie des Sciences f t. XX, 1843, p. i55o-i554; Rapport sur les progrès de la Géométrie, Paris, 1870, p. 3o3-3o6. — Hoefer, Histoire des Mathématiques, Paris, 18741 p* 4^^*
l5a GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIII.
Lorsque, dans deux ponctuelles projectwes, uetuiy deux points distincts, A et Aj , ^e correspondent doublement^ tous les autres couples de points correspondants se troussent dans la même condition.
Soit, en effet; B un troisième point quelconque de u et Bj son correspondant dans i/|. Les deux formes de points AAiBBi et Al ABjB sont projectives (32) et le point B, pris comme élément de la seconde, a pour correspondant le point Bj, considéré comme élément de la première.
Deux ponctuelles dont les éléments se correspondent ainsi doublement sont dites ponctuelles im^olutoires ou en involution.
La même définition s'applique, non-seulement à deux formes de la même espèce (faisceaux de rayons concentriques, faisceaux de plans coaxés, etc.) qui répondent aux conditions du précédent énoncé, mais encore à deux formes projectives d'espèces différentes, lorsque les éléments de l'une sont en double correspondance avec les éléments de la section ou de la projection de l'autre.
IL — Courbes et faisceaux de rayons du second ordre en inTolntion.
180. Deux courbes du second ordre, projectis^es et superposées^ sont en involution lorsque deux quelconques de leurs points, Aet A, , se correspondent doublement.
Soient B et B| [fig- 44 et 45) deux points correspondants quelconques, U le point d'intersection des droites AA|, BB,, et u la polaire de ce point par rapport au lieu des deux courbes du second ordre superposées.
Aux points A, A|, B de l'une des courbes correspondent respectivement les points Aj, A, B, de l'autre. Les deux faisceaux de rayons Bi (AA| B) et B (A|AB|), qui projettent respectivement, des points B| et B, les courbes A A, B et A, AB,, sont perspectifs à la ponctuelle a. Ils sont, en effet, projectifs aux courbes et, par conséquent, projectifs entre eux; de plus ils ont comme élément uni le rayon B| B ou BB| et sont dès lors des projections d'une même ponctuelle. Cette ponctuelle est d'ailleurs située sur u ;
FORMES BLÉUENTAIRES EN INVOLVTION. l53
car les couples de rayons correspondants B| A et BA|, B| A| et BA se coupent sur la droite u.
Deux autres points de la courbe, C et C^, alignés avec U, sont projetés de la même manière par deux couples de rayons correspondants des faisceaux B etB{, perspectifs à u^ et sont, par suite, deux points doublement correspondants des courbes.
Il suit de là et des théorèmes précédemment établis (lOo) que:
Si deux courbes projectiles du second ordre sont en involution, les droites qui joignent deux points correspondants quelconques se coupent en un même point U, et les points d'intersection de deux tangentes correspondantes quelconques sont situés sur la polaire u de JJ.
La droite u est nommée Vaxe d'involution et le point U le centre d'involution des courbes.
181 . Les deux faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent deux courbes involutoires du second ordre sont aussi en involution.
En effet, les tangentes en deux points doublement correspondants quelconques sont elles-mêmes doublement correspondantes.
Les faisceaux sont dès lors coupés, par chacun de leurs rayons, suivant deux ponctuelles involutoires ; et pareillement :
Deux courbes du second ordre en involution sont projetées, de chacun de leurs points, au moyen de deux faisceaux de rayons du premier ordre en in\folutionj et de tout point pris hors de leur plan, au moyen de deux surfaces coniques en involution.
Un système de droites, perspectif à Tune des deux courbes, est en involution avec l'autre, et ainsi de suite.
m. — Formes élémentaires en inTOlntion.
182. Nous pouvons étendre à toutes les formes élémentaires le théorème établi au n^ 180, en disant que :
Deux formes élémentaires de la même espèce, projectiles et
situées l'une sur l'autre, sont en involution lorsque deux quelconques de leurs éléments se correspondent doublement.
Si les deux formes élémentaires sont deux faisceaux de rayons situés Tun sur l'autre, on construit deux courbes du second ordre, situées aussi Tune sur l'autre et perspectives aux faisceaux considérés. Ces courbes sont en involution, car deux de leurs points se correspondent doublement. Les deux formes de rayons sont donc aussi en involution.
Si les deux formes élémentaires sont deux faisceaux de plans ou deux ponctuelles, on construit deux formes de rayons, situées l'une sur l'autre et perspectives aux formes données. Ces formes de rayons étant, d'après ce qu'on a vu, en involution, il en sera de même des formes données.
