Éléments conjugaés et donbles
183. Deux formes de la même espèce en involution sont ordinairement considérées comme une seule forme dont les éléments sont dits conjugués deux à deux ou accouplés involutoirement.
Deux formes élémentaires étant perspectives, si les éléments de l'une sont conjugués deux à deux, les éléments de Vautre le sont aussi,
184. Pour accoupler involutoirement les éléments d'une forme y. ,g élémentaire, il suffit d' accoupler arbitrairement deux couples d'éléments y (A, A|)
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Si la forme élémentaire involutoire est une courbe du second ordre, on trouve l facilement {fig- 46) 1^ conjugué C| d'un
*' ' cinquième point quelconque C, au moyen du centre d'involution U, où se coupent les droites AA| , BB| et où doit passer aussi la droite CC| (180). L'axe d'involution peut également servir à cette détermination.
Le même raisonnement s'applique à la surface conique du second ordre.
ÉLÉMENTS CONJUGUES ET DOUBLES. l55
S*il s'agît d'accoupler involutoirement les rayofis d'un système de droites, .011 coupe le système suivant une courbe du second ordre et l'on procède comme pour celle-ci.
S'il s'agit des rayons d'un faisceau S du premier ordre {fig» 4^), il suffît de construire une courbe du second ordre perspective au faisceau (par exemple un cercle passant par le centre S), et d'accoupler les points de cette courbe.
On procédera d'une manière analogue pour toute autre forme élémentaire.
185. Deux formes élémentaires de la même espèce en im^olution [deux courbes par exemple) sont projectiles, concordantes ou opposées (48) selon que deux éléments conjugués, A et A|, sont ou ne sont pas séparés par deux autres, B et B| .
Dans le premier cas, deux éléments correspondants se meuvent simultanément dans le même sens, l'un décrivant la forme AA| B, l'autre la forme A^ AB, et ne se rencontrent jamais.
Dans le second cas, les deux éléments correspondants se meuvent en sens opposés et doivent tomber deux fois l'un sur l'autre.
On donne à tout élément correspondant commun de deux formes en involution le nom A^ élément double de la forme involutoire composée des deux premières formes ensemble.
Une forme élémentaire involutoire na aucun élément double, ou elle a deux éléments doubles, selon que deux de ses éléments conjugués sont ou ne sont pas séparés par deux autres.
Sur chaque élément double coïncident deux éléments conjugués de la forme en involution.
Si le centre d' involution U d'une courbe im^olutoire du second ordre est situé en dehors de la courbe, celle-ci a deux points doubles, M et fi, gui sont les points de contact des deux tangentes issues du point U.
L'axe u d' involution, qui est la polaire du point U, coupe la courbe en ces points doubles,
186. Les éléments doubles d^ une forme élémentaire en involution sont harmoniquement séparés par deux éléments conjugués.
l56 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE \1II.
Il suffira de démontrer cette propriété pour les courbes du second ordre en involution, puisque tout autre cas peut^tre ramené à celui-là.
Soient M et N {fig* 44) l^s éléments doubles; A et A| les conjugués proposés; B, B| un second couple de points conjugués. Les côtés opposés du quadrangle simple A BA|B| se coupent en deux, points conjugués ( 109, 111) qui sont séparés harmoniquement Tun de l'autre par M et N. Les rayons BA, BM, BA|, BN, qui projettent quatre points harmoniques, sont donc quatre rayons harmoniques. Par suite, les points doubles M et N sont harmoniquement séparés, sur la courbe, par les points A et A|.
187. On peut accoupler involutoirement les éléments d'une forme élémentaire, en prenant arbitrairement deux éléments doubles, M et N, ou un élément double M et un couple d'éléments conjugués, A et A|. Le conjugué d'un élément quelconque est alors déterminé.
Dans le premier cas, deux éléments quelconques sont conjugués s'ils sont harmoniquement séparés par les points M et N. Dans le second cas, le deuxième élément double N peut être immédiatement déterminé, puisqu'il est harmoniquement séparé de M par A et A| . Ce cas est donc ramené au précédent.
