VI. — Éléments conjugués dans une involution

191. Trois couples d'éléments conjugués, AA|, BBi, CC| d'une forme élémentaire involutoire constituent ce qu'on appelle une inv^olution.

Les six éléments d^une involution ne sont pas indépendants les uns des autres^ ainsi qu'il résulte immédiatement d'une relation établie plus haut (183).

Un élément double, M ou N, peut occuper dans Tinvolution la position d'un couple d'éléments. Par exemple, M.AA|.BB| est une involution lorsque les formes MAA| B et MAiABi sont projectives. Pareillement, M.N.AAi est une involution lorsque MANA| est un système harmonique, projectif par conséquent au système MA| NA.

192. Nous pouvons établir maintenant les propositions suivantes :

Les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle plan complet sont coupés par une droite quelconque de leur plan, ne passant par aucun des quatre sommets, en trois couples de points conjugués d'une ponctuelle en involution.

Les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère plan complet sont projetés, d*un point quelconque de leur plan f n'appartenant à aucun des quatre côtés ^ par trois couples de rayons conjugués d'un faisceau en involution.

Fîg. 48.

Soit (à gauche) QRST [fig* 48) un quadrangle complet dont

les couples de côtés opposés, RT et QS, ST et QR, QT et RS sont coupés, par la droite m, respectivement aux points A et A|, B et Bi, C et C| ; et soit O le point d'intersection de QS et RT. La forme ATOR est la projection de AC A| B| , du centre Q, aussi bien que la projection de ABA| Co du centre S. La forme ACA| B| est donc projective à ABA,C, et par suite à A,C,AB (41). Donc AA,.BB,.CC, est une involution.

193. On donne deux couples de points. A, A, e^.B, B|, ^'u/ie ponctuelle involutoire, et Von demande de déterminer le point C| , conjugué à un cinquième point quelconque C.

Nous pouvtms éviter de recourir à la forme du second ordre, en

ÉLÉMENTS CONJUGUÉS DANS UNE INVOLUTION. l59

construisant un quadrangle complet, dont deux côtés opposés passent par A et Ai, deux autres par B et B| et un cinquième côté par C ; le sixième côté déterminera le point cherché C| .

194. Une droite quelconque, ne passant par aucun des sommets d'un quadrangle simple, inscrit à une courbe du second ordre j rencontre la courbe et les deux couples de côtés opposés du quadrangle en trois couples de points conjugués en inv^olution ( ' ).

Soit, en effet, u {Jig> 49) ^^^ droite qui Fig. 49.

rencontre les côtés QT, RS, QR, TS du ,« quadrangle QPiST, respectivement en A, A| , B, B| et la courbe en P, P< . Les deux faisceaux de rayons qui projettent, de Q et de S, les points P, R, P| , T de la courbe sont projectifs. Les ponctuelles PBP, A et PA,P|B|, suivant lesquelles la droite u coupe ces faisceaux, sont donc aussi projectives. Les formes PA| P| B| et P| B| PA| étant d'ailleurs projectives (28, 41), les formes PBP| A et Pi B| PA| le sont aussi.

Donc PP| .AA| .BB| est une involution.

Cette involution est complètement déterminée par les couples de points AA|, BB|. Toute autre courbe

(*) Cet énoncé est celui du célèbre théorème de Desargues, dont nous avons déjà parlé dans une précédente note. Desargues no s'est pas borné à considérer ce cas, qu'il a désigné sous le nom d*involueion de six points. Il y a étudié aussi le cas où deux points accouplés Tiennent à coïncider (involution de cinq points) et celui où, deux autres points accouplés coïncidant aussi, on n'a plus à considérer que quatre points; la relation d'involution se réduit alors à un rapport harmonique. {Brouillon proieci, etc., dans les Œuvres de Desargues réunies et analysées par M. Poudra. Paris, i86'|, p. 171-176.)

La troisième des cinq propositions que Fermât a laissées comme exemple on spé-^ ^ T . . { cimen des porismes {yaria opéra mathentatica, Toloste, 1C79) n'est autre que le fa- f" meux théorème de l'inTotution de six points. On ne peut douter que l'illustre géomètre toulousain ne soit parvenu à cette proposition sans avoir connaissance de l'énoncé de Desargces; mais on ne doit pas moins reconnaître à celui que Po^icblst appelait très-justement le Monge de son siècle le double mérite d'avoir découvert son théorème vingt-cinq années avant Fermât et d'en avoir mis toutes les ressources à profit dans sa théorie des coniques.

On sait d'ailleurs quel parti Pascal a su tirer du théorème de Desargues. (Voir CflASLES, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 67, 77*90, 33t-34i.)

du second ordre, circonscrite au quadrangle, coupera donc la droite u en deux points conjugués de la même involution.

Les courbes du second ordre inscrites dans un quadrilatère simple donnent lieu à une proposition tout à fait analogue.

Nous pouvons donc énoncer ces deux propositions générales ;

Toutes les courbes du second ordre circonscrites à un quailrangle sont coupées par une droite u , située dans leur plan, mais ne passant par aucun des sommets du quadrangle, en des couples de points conjugués d'une ponctuelle inuolutoire u.

Si Tune des courbes circonscrites est tangente à la droite u, le point de contact est un point double de Tinvolution. Il y aura donc deux courbes satisfaisant à cette condition, ou il n'y en aura aucune.

Toutes les courbes du second ordre inscrites dans un quadrilatère sont projetées d'un point S, situé dans leur plan ^ mais n 'appartenant à aucun des côtés du quadrilatère, par des couples de rayons conjugués d'un faisceau inuolutoire S.

Si l'une des courbes inscrites passe par le point S, la tangente en ce point est un rayon double de Finvolution. Il T aura donc deux courbes satisfaisant à cette condition, ou il n'y en aura aucune.

On peut appliquer les précédents résultats à la construction des courbes du second ordre, par points ou par tangentes, quand on connaît cinq points ou cinq tangentes. Cette application est analogue à celle que nous avons faite des théorèmes de Pascal et de Brianchon (79).

19S. Le premier théorème du n° 194 se transforme comme il suit pour le triangle :

Une droite quelconque, ne passant par aucun des trois sommets d'un triangle inscrit à une courbe du second ordre, rencontre la courbe, deux côtés du triangle, le troisième côte et la tangente au sommet opposé, en trois couples de points conjugués en involution.

Les courbes du second ordre inscrites dans un triangle, ou qui en touchent les côtés, donnent lieu à une proposition tout à fait analogue.

REL.iTIONS MÉTRIQCES ENTRE LES ÉLÉMENTS d'uXE PONCTUELLE, ETC. l6l