III. — Points doubles

198. Si la ponctuelle a deux fioints doubles, M et N (j^^. 5i], en chacun desquels deux points conjugués coïncident, on déduit de (^)

(3) OA.OA, = ()m'=Ôn\

Le centre O d'une ponctuelle en int^olution est donc le point milieu du segment MN compris entre les points doubles.

Cette équation exprime aussi que M et N sont harmoniquement séparés par A et Al (38), ce que, du reste, nous savions déjà d'autre part (186, 190).

Selon que le produit OA . OAi est positif ou négatif, il existe des points doubles ou il n'en existe pas. Donc :

Deux points conjugués quelconques A et A^ d'une ponctuelle en involu^ tion sont situés d'un même côté, par rapport au centre 0, si la ponctuelle a des points doubles, et de part et d'autre du centre si la ponctuelle n'a pas iie points doubles»

199. Décrivons (fig- 5o^ 5i) sur les segments AAi, BBp CCi, limités par deux points conjugués d'une ponctuelle en involution, des cercles qui aient ces segments pour diamètres. Désignons par r le rayon de l'un quel-

|64 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES I\ ET Xlll.

conque de ces cercles, par exemple de celui qui est décrit sur AAi, et par d la distance de son centre K au point O. Nous aurons

OA = OK— AK=rf— r, OAj zi= OK -h KAi == ^ -+^ r,

et, par conséquent,

OA.OAi = r/*— r».

Si la ponctuelle en involutîon a deux points doubles, M et N, le point est en dehors du cercle K (198) etd* — /•* represente le carré de la fcingente / qu'on peut mener du point à ce cercle; car r et r sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont d est l'hypoténuse.

D'après l'équation (^), la longueur de la tangente t est constmte pour tous les cercles construits sur les segments AA|, BBi, .... D'après l'équation (3), cette longueur est égale à la moitié du segment MN, compris entre les points doubles. Donc :

Les c'uTonféivnces elécritcs sur les segments AA|, BB|, ..., limités par les couples de points conjugués d'une ponctuelle en im'olution, sont coupées orthogonalement par la circonféi ence décrite du centre sur le segment des points doubles.

On voit aussi que :

Les circonférences décrites sur AA|, BB|, ... coupent ort/togonalement toute circonférence passant par les points doubles.

Quand la ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, son centa* O est à l'intérieur du cercle décrit sur AAj eid^ — /•* est négatif.

Menons dans le cercle, par le point 0, la corde PQ perpendiculaiix à AA|. Chacune des moitiés, OP, OQ, de cette corde est l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant pour second côté ^ et pour hypoténuse r. On a donc

d^-hÔy'=r\ ou

D'après l'équation ('2), la longueur de la demi- corde doit rester la même pour tous les cercles décrits sur les segments A Ai, BB|, CGi, .... Il suit de là que tous ces cercles passent par les points P et Q, et que les angles

APAi, BPB„ CPCi, . . . sont droits.

FOYERS. lG5

Nous pouvons donc énoncer successivement les pmposîtions suivantes :

Quand une ponctuelle en involution n'a pas de points doubles, toutes les circonférences décrites sur les segments AAj, BBj, ..., limités par les couples de points conjuguf's, passent par les deux points où se coupent deux quelconques d'entre elles.

Quand une ponctuelle en involution n'a pas fie points doubles, il jr a, dans tout plan qui la contient, deux points, P et Q, de chacun desquels le système est projeté par un faisceau en involution , dont les couples de rayons conjugués sont rectangulaires.

Un faisceau de rayons en involution est rectangulaire lorsque deux couples quelconques de rayons conjugués se coupent à angle droit.

Si l'on inscrit dans une courbe du second ordre une suite de triangles rec" tangleSy disposés de telle sorte que les sommets des angles droits soient tous en un point S, les hypoténuses se couvent toutes en un même point.

Les points de la courbe sont en eflet involutoirement accouplés par le faisceau rectangulaire S (160).

SOO. On nomme foyer d'une courbe du second ordre un point tel que les couples de rayons qui en sont issus, et qui sont conjugués (111) par rapport à la courbe, se coupent toujours à angle droit. En d'autres ternies, un foyer est un point tel que les côtés de tout angle droit ayant son sommet en ce point sont des droites conjuguées par rapport à la courbe.

Le faisceau en involution des rayons conjugués qui se croisent en un foyer ne peut pas avoir de rayons doubles.

Tout rayon est, en eflet, perpendiculaire à son conjugué. On ne peut donc pas mener du foyer des tangentes à la courbe, ce qui revient à dire qu'un foyer est toujours situé dans la région interne de la courbe (185)*

Tout foyer F est situé sur un axe de la courbe. En d'autres termes, le diamètre passant par un foyer est un axe de la courbe; car il est perpendiculaire à la corde conjuguée qui passe par le même foyer (131).

La dro'te qui joint deux foyers F, Fi d'une courbe du second ordiv est un axe de la courbe.

Cette droite est, en eflet, conjuguée aux deux perpendiculaires qu'on peut élever sur elle en F et en F|, et son pôle ccîncide avec le point à l'infîni des deux perpendiculaires.

l66 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES l\ ET XIII.

Dans le cercle, le centre peut être considéré comme un foyer. Deux rayons conjugues par rapport k un cercle ne sont perpendiculaires entre eux que si Tun d'eux ou chacun d'eux est un diamètre. Par où l'on voit aisément que le cercle n'a d'autre foyer que son centre.

Le cercle doit être considéré comme exclu des recherches suivantes.

201. Toute droite /? [fg^ 5a], située dans le plan d'une courbe du second ordre, est conjuguée à la perpendiculaire /?,, abaissée sur p de son ])ôle. Soit a un axe de la courbe du second ordre, coupé par/? et/^i en P

et P|, sous des angles aigus. Tout ^' rayon du faisceau P est alors per-

pendiculaire à son conjugué du faisceau P,. Rapportons, en effet, les faisceaux P et P| projectilement entre eux; en assignant à tout rayon de l'un, comme correspondant, le rayon conjugué de l'autre. Représentons par A le pôle à l'infini de l'axe a. Les trois rayons a, PÂ, /? de P sont respectivement per- ])endiculaires à leurs correspondants conjugués PjA, a eipi de P|. Par suite, les faisceaux P et Pj engendrent un cercle qui a PP| pour diamètre, et deux rayons conjugués quelconques de ces faisceaux sont perpendiculaires entre eux. Donc :

ji tout point P, pris sur l'un des axes d*une courbe du second ordre, correspond, sur le même axe, un autre point Pj, tel que deux rayons conjugués quelconques, passant respectivement par P et par P,, sont perpen^ eliculaires entre eux.

Lorsque deux points, dans la condition de "Pet de Pj, sont conjugués l'un à l'autre, les points de l'axe a sont accouplés inpolutoirement.

Rapportons, en effet, projectivement entre eux les deux faisceaux de rayons parallèles qui ont respectivement les directions des rayons p et/?|, en assignant comme correspondant, à chaque rayon de l'un, le rayon qui 1 ui est conjugué dans l'autre. La droite a est coupée par les deux faisceaux suivant deux ponctuelles projectives, et ces ponctuelles sont en involution, car deux quelconques de leurs points, tels que P et P,, se correspondent doublement.

Si la ponctuelle en inpolntion a présente deux points doubles, chacun de ces points est un foyer de la courbe du second ordre.

Si la ponctuelle n'a pas de points doubles, chacun des deux points d'où elle est projetée par un faisceau rectangulaire de rayons est un foyer de la courbe.

En effet, de\\x. rayons rectangulaires quelconques, issus d'un tel point, sont conjugués.

Dans le dernier cas, les foyers sont situés sur l'axe de la courbe du second ordre différent de a. Ils constituent les points doubles d'une ponctuelle involutoire formée, sur ce second axe, de la même manière que la ponctuelle située sur a dans le premier cas.