ÉLÉMENTS UNIS DANS LES FORMES ÉLÉMENTAIRES PROJECTIVKS, ETC

On obtient deux points unis ou uc seul, ou Ton n'en obtient aucun , selon que la droite u coupe la courbe, ou la touche, ou ne la rencontre pas.

Le théorème de Pascal permet de trouver, sur la droite u, le point d'intersection des droites BC| et B^ C Les trois couples de côtés opposés de Thexagone AB| CÂ| BC|, inscrit à la courbe du second ordre, se coupent en effet sur u.

On détermine aussi la droite u en projetant les formes projectives ^1 et A*, respectivement des points B et B| , ou encore des points C et C|, au moyen de deuis faisceaux de rayons, qui sont également perspectifs.

En général, si P, Q sont deux points quelconques de k, et P(, Qi les points correspondants de A"i, le point d'intersection de PQi et de P| Q est sur la droite u. On peut donc construire la droite i/, étant donnés trois points quelconques de k et les points correspondants de kj .

Quand les deux formes k elk^ sont en involution, elles constituent une courbe involutoire du second ordre. La droite u est Taxe d'involution.

Quand il existe des points doubles, la courbe est rencontrée en ces points par Taxe d'involution. Il suffit en ce cas, pour construire u, de connaître deux couples de points conjugués, A, A| et B, B| . Aux points A, B, A| de k correspondent en effet les points A|,B|, A de A^i, et u passe par les deux points où les droites AB( et AB sont respectivement coupées par les droites A| B et A| B| {fig. 44 et 45).

Le pôle de u, où se coupent les droites AA| et BB|, est le centre de l'involution, et si deux tangentes peuvent être menées à la courbe par ce point, elles ont pour points de contact les points doubles.

211. On peut ramener au problème précédent les divers autres cas qui se trouvent compris dans cet énoncé plus général :

Déterminer les éléments unis dans deux formes élémentaires situées l'une sur Vautre.

Si les formes élémentaires sont deux surfaces coniques ou deux systèmes de droites génératrices d'une surface doublement recti-

ligne, on les coupe par un plan quelconque, suivant deux formes projectives de points qui sont situées sur une même courbe du second ordre.

S^ii s'agit de deux faisceaux de rayons du second ordre, les courbes que ces faisceaux enveloppent sont encore situées Tune sur l'autre et projectives. Il suffit alors de déterminer les points unis de ces courbes; les rayons cherchés passent par ces points.

Si les formes données sont deux faisceaux de rayons du premier ordre, concentriques et situés dans un même plan, on fait passer par leur centre commun une courbe du second ordre, qui les coupe suivant deux formes projeclives de points. A: et A"|. Les deux rayons unis des faisceaux passent par les deux points unis de k et de ki.

Si les deux formes élémentaires projectives sont deux ponctuelles superposées, i^ et i'i [Jig» 58), on ramène ce cas au pré-

Fig. 58.

cèdent en projetant les ponctuelles d'un point quelconque S, au moyen de deux faisceaux concentriques de rayons.

On fail passer par S, dans le plan Si^, une courbe du second ordre, un cercle par exemple. On projette du point S, sur la courbe, trois points quelconques A, B, C de t', et les trois points correspondants A|, B|, C| de i^i. On obtient ainsi les points A', B', C et A',, B', , C, de la courbe, et la droite u est déterminée, puisqu'elle doit passer par les points d'intersection de A'B'^ et de A'.B', de WC\ et de B'.C de C'A', et de C.A'. Si donc la courbe du second ordre est coupée par u en deux points M', IS', on projette ces points de S sur la droite {f, et l'on obtient les points