RELATION PROJECTIVB ENTRE LES FORMES FONDAMENTALES, ETC. I9I

227. Si deux systèmes plans sont réciproques, à la droite à l' infini de l'un correspond un point déterminé de Vautre, Toute droite passant par le point ainsi déterminé dans l'un des systèmes con^ tient les points du même système auxquels correspondent des droites parallèles dans le système réciproque (225).

m. — Relation projective entre les formes fondamentales

de la seconde espèce.

228. Deux formes de la seconde espèce, collinéaires ou réciproques, sont projectiles,

A tout système harmonique de l'une correspond en effet un système harmonique dans l'autre .

Soient, par exemple, A, B, C, D {fig^ 63) quatre points harmoniques d'un système plan S, et a^, 6,, C{, d^ les quatre rayons

Fig. 63.

correspondants d'un système plan Si , réciproque à Z. Les points Ay B, C, D étant situés sur une droite i/, les rayons ai, &i, C|, d^ doivent passer par un point U| (22o). A toutquadrangleKLMN deS, dont deux côtés opposés passent par A, deux autres par C, et les deux derniers respectivement par B et D, correspond, dans Z|, un quadrilatère k^l^m^n^y dont deux sommets opposés s'appuient sur Al, deux autres sur C|, et les deux derniers, respectivement, sur i| et d^. Donc ai, £{, C|, d^ sont bien quatre rayons harmoniques.

On déduit de là que :

Deux formes simples, (/ui se correspondent dans des formes fondamentales collinéaires ou réciproques, sont projectiles,

A quatre éléments harmoniques de Tune correspondent toujours, en effet, quatre éléments harmoniques dans Tautre.

229. Le théorème précédent fournit le mojen de rapporter projeclivement entre elles deux formes fondamentales de la seconde espèce.

Soient, par exemple, à rapporter réciproquement enlre eux deux systèmes plans, 2 et Z| [fig* ()4)- ^ ^O"^ point de 2 devra cor-

Fig. 6}.

respoudre un rayon de £| ; à toute ponctuelle de 2, un faisceau de rayons, projectif à la ponctuelle, dans 2|, et vice versa. Prenons dans £ deux ponctuelles, u et v, et assignons-leur comme correspondants, dans Z|, deux faisceaux de rayons, U« et V^ en rapportant projectivement u à Ut et v' à V|, de façon qu^au point commun P de u et de v corresponde le rayon commun p^ de Uj et deV,.

Tout rayon k de Z, ne passant pas par P coupe les droites u et i' respectivement en deux points A et D, auxquels correspondent respectivement les rayons a^ et d^ dans les faisceaux U| et Y| de £|. Le point d'intersection K| de ces rayons a pour correspondant le rayon AD ou À*.

A tous les rayons d^un faisceau S correspondent tous les points d'une droite j|. En eflet, les ponctuelles u et \f sont rapportées perspcctivement entre elles, au moyen du faisceau S de rayons, de

RELATION PROJEGTIVE ENTRE LES FORMES FONDiUENTALES, ETC. IqS

façon à avoir le point P uni ; conséquemment, les faisceaux U^ V| sont aussi rapportés perspectivement entre eux, de façon à avoir le rayon p^ uni. Ces deux faisceaux perspectifs engendrent une ponctuelle s^ , qui correspond au faisceau S de rayons.

On voit donc que, moyennant la correspondance des formes u elXi^y %f et Vo projeclives entre elles, à tout rayon ^ de Z est assigné, comme correspondant, un point K| de Z|, et à tout point S, situé sur Ar, un rayon s^ passant par K4 ; en sorte que les systèmes £ et£{ sont bien rapportés réciproquement entre eux.

230. Pour rapporter collinéairement entre eux deux systèmes plans, Z et Z|, il suffit de les rapporter réciproquement à un troisième, suivant le mode précédemment indiqué.

On déduit de là les procédés suivants :

1° Prendre arbitrairement deux ponctuelles, u eti', sur Z, deux autres, Ui et V|, sur Z| et rapporter projectivement u à i/|, v k%f^y de telle sorte que le point commun uv corresponde au point commun Uf (^1 .

2*^ Assigner comme correspondants à deux faisceaux quelconques U et V de 2, deux faisceaux U| et V| de Si, et rapporter projectivement U à U|, V à V|, de telle sorte que le rayon UV de S corresponde au rayon \i\\\ de S| .

On pourrait, d'une manière analogue, rapporter collinéairement ou réciproquement deux gerbes, ou une gerbe et un système plan. Mais il est plus commode de ramener ces cas à ceux que nous avons déjà traités, en substituant à chaque gerbe une de ses sections planes.

Pour rapporter réciproquement entre elles deux gerbes, S et S|, on peyt prendre à volonté dans S deux faisceaux de rayons a et |3 et dans S| deux faisceaux de plans a^ el b^\ a est rapporté projectivement à ai et ^ à 6| , de telle sorte qu'au rayon commun ap des faisceaux de rayons corresponde le plan commun a^b^ des faisceaux de plans. Dans ces conditions, tout élément déterminé de la gerbe S 4 correspond à un élément de la gerbe S.

231. Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans S et Z| [fig^ 64), nous avons pris d'une manière arbitraire (229) les droites u et ^ dans S et les points correspon-

dants U| et V| dans X|. Nous avons pu, en outre, rapporter projectivement u à U| et i' à V| d'une manière quelconque, sous la seule condition que le point uu ou P ait pour correspondante la droite de jonction U|Vi ou^|. Nous pouvons donc encore assigner comme correspondants, à deux points quelconques A et B de u, deux rayons quelconques ^i et bt de U|, et de même, à deux points quelconques C et D de i^, deux rayons quelconques c^ et </| de Vi . Â tout élément de Z est alors assigné, comme correspondant, un élément déterminé de £|.

On peut évidemment, sous la condition déjà exprimée, considérer ABCD comme un quadrangle tout à fait quelconque du plan 2 et, pareillement, ^i b^Cidi comme un quadrilatère tout à fait arbitraire du plan 2i ; donc :

Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans, 2, Zf , il sujjfit d'assigner arbitrairement aux sommets A, B, C, D d'un quadrangle quelconque de S, les côtés a^y b^jC^j d^ d'un quadrilatère quelconque de ^x\ un élément déterminé de Z| est alors assigné comme correspondant à tout élément de S.

On peut, de même, rapporter coUinéairement entre eux deux systèmes plans, et faire ainsi que deux quadrangles ou deux quadrilatères de ces systèmes correspondent l'un à l'autre d'une manière déterminée. Le théorème peut être étendu à des formes fondamentales quelconques de la seconde espèce, puisque tous les cas possibles peuvent être ramenés à celui que nous venons de traiter.

Nous dirons donc, en généralisant :

Deux J ormes Jondamentales de la seconde espèce peuvent être rapportées projectiuement entre elles, de telle façon que quatre éléments quelconques A, B, C, D de la même espèce dans l'une, dont trois n appartiennent jamais à une même forme fondamentale simple, soient assignés comme correspondants à quatre éléments A|, B|, C|, D| de l'autre forme.

Deux éléments correspondants, tels que A et A|, sont les lieux de deux formes fondamentales simples, rapportées projectivement entre elles, de telle façon qu'aux éléments AB, AC et AD correspondent respectivement les éléments A| B| , A| C| et A, D| .