IV. — Correspondance entre les courbes

232. La distinction des courbes planes étant faite d'après leur ordre et d'après leur classe, nous dirons que :

Une courbe plane du /i***" ordre présente en général, et tout au plus, n points communs avec une droite de son plan.

Une courbe plane de la /i*'"" classe présente en général, et tout au pi us, n tangentes issues d'un même point de son plan.

Deux systèmes plans collinéaires étant donnés, aux points et aux tangentes d'une courbe dans l'un correspondent les points et les tangentes d'une courbe dans l'autre.

Quand deux courbes correspondantes sont du même ordre et de la même classe, à un point multiple et à une tangente multiple de l'une correspondent un point équimultiple et une tangente équimultiple de l'autre.

233. Deux courbes projectwes du second ordre peus^ent toujours être considérées comme courbes correspondantes dans deux systèmes plans collinéaires.

Soient A, B, G trois points quelconques de la première courbe h y et A|, Bo C| les trois points respectivement correspondants de la seconde courbe kx ; soient, en outre, D le pôle de AB par rapport à A: et D| le pôle de A^ Bi par rapport à /Pf. Si les courbes appartiennent à deux systèmes plans collinéaires correspondants, les tangentes à A en A et B doivent correspondre aux tangentes à k^ en A| et Bf. Conséquemment, D et D| sont aussi deux points correspondants des systèmes collinéaires.

On peut maintenant rapporter (231) collinéairement entre eux les systèmes plans dans lesquels se trouvent les courbes, de telle sorte qu'aux quatre points A, B, G, D de l'un correspondent respectivement les points A|, B,, G|, D| de l'autre, et qu'à la courbe /r, qui passe par G et qui touche en A et B les droites DA et DB, corresponde la courbe A'4, qui passe par G4 et qui touche en A| et B| les droites D{A| etD{B|.

234. Deux courbes coUinéaires du même ordre et de la même classe peuvent se présenter dans des conditions très-différentes, eu égard à leurs points à Tinfîni.

Soient de nouveau Z et Z4 les systèmes plans coUinéaires dont les courbes k eiki, de même ordre et de même classe^ sont des formes homologues, et soient A|, B{ deux points de 2)| qui correspondent respectivement aux points A et B de Z. A deux rayons quelconques a et & de Z, parallèles entre eux et passant respectivement par A et par B, correspondent, dans Z| , deux rayons ai et &| qui passent respectivement par A| et B|, mais qui ne sont pas nécessairement parallèles. Au point à Tinfini, où se coupent les rayons a et b, correspond donc généralement un point propre d^ntersection desrayons ai et &i, età la droite qui joint deux points à l^nfini du système Z, c'est-à-dire à la droite à Tinfini de Z, correspond en général une droite qui joint deux points propres deZ|, c'est-à-dire une droite propre de Z| ; pareillement, à la droite à rinfini de Zi correspond en général une droite propre dans Z.

Il s'ensuit que les points à Tinfini de la courbe k ne correspondent pas nécessairement à des points à Tinfini de k^ , et que les asymptotes de k, c'est-à-dire les tangentes aux points à Tinfini de cette courbe, n'ont pas non plus nécessairement pour correspondantes des asymptotes de A*! .

235. Soient Z et Zi deux systèmes plans réciproques. A tout point P de Z correspond alors un rayon pi de Zi . Si P parcourt dans Z une courbe quelconque Xr, p^ décrit en même temps dansZi une suite continue de rayons, c'est-à-dire un faisceau Ki de rayons, et, si P s'approche d'un point fixe Q de la courbe A, p^ s'approche d'un rayon fixe ^1 du faisceau Ki ; au rayon PQ, qui pivote autour du point Q, correspond le pointai 91, qui se meut sur la droite q^. Lorsque le point P est à une distance infiniment petite du point Q, la droite PQ arrive à coïncider avec une droite fixe, qui est la tangente q du point Q ; en même temps le point pt q^ coïncide avec un point fixe, qui est le point de contact Qi du rayon q^ , et qui correspond dès lors à la tangente q (78). En un mot : au faisceau K de tangentes, qui enveloppe la courbe kf correspond une courbe k^ qui est enveloppée par le fais* ceau Kl .