V. — Courbes polaires réciproques

236. Les considérations du numéro précédent, relatives à la correspondance des courbes dans les systèmes plans réciproques, reposent sur un théorème déjà démontré (108), en vertu duquel, une conique fondamentale étant donnée, si un point ou pôle variable décrit une droite p, la polaire de ce point pivote autour d'un autre point qui est le pôle àe p\ et réciproquement, si une droite, prise comme polaire, pivote autour d'un point fixe P, le pôle de cette droite parcourt une autre droite, qui est la polaire du point P. En conséquence :

Si deux courbes quelconques, situées dans le plan d 'une conique donnée, sont telles que les points de l'une soient respectivement les pôles des tangentes de Vautre, les points de celle-ci seront, réciproquement, les pôles des tangentes de la première; de sorte que chacune des deux courbes pourra être considérée, soit comme l'enveloppe des polaires des points de l'autre, soit comme lieu des pôles des tangentes de cette autre.

igS GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

Deux courbes dans ces conditions sont dites polaires réciproques (*).

237. Une courbe du /i**"* ordre est généralement rencontrée par une transversale en n points. Chacun de ces points est le pôle d'une tangente à la courbe réciproque, et cette tangente passe nécessairement par le pôle de la transversale arbitraire. Le système de la transversale et de ses points d'intersection avec la première courbe est donc remplacé, dans la figure réciproque, par le système d'un nombre égal de tangentes, concourant en un même point, qui est le pôle de la transversale. Ces deux systèmes sont d'ailleurs réciproques, ce qui revient à dire que :

Deux courbes réciproques étant données, si Von mène d'un même point toutes les tangentes possibles à l'une d^ elles, le système de ces tangentes a pour polaire une droite qui rencontre l'autre courbe en un nombre de points indiqué par l'ordre de celle-ci, et précisément égal au nombre des tangentes (respectii^ement polaires de ces points) qu'on a menées à la première courbe,

238. On a vu (23S ) que la courbe polaire réciproque d'une conique est une autre conique. Il s'agit maintenant de rechercher les caractères distinctifs auxquels on reconnaît que la polaire réciproque Â*2 d'une conique A| est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

La droite à l'infini est la polaire du centre O de la conique fon-

( ' ) Cette dénomination est due à Pomcelet ( Traité des propriétés projectives des figures, etc. Paris, 1822, n° 232, et Paris, 1860, t. II, section II et section supplémentaire). A nos précédentes observations (note de la p. i4)» nous ajouterons seulement que deux figures polaires réciproques sont deux figures réciproques ou corrélatives dans le sens de la loi de dualité (Chap. 111), car à tout point de l'une correspond une droite dans Tautre, à toute ponctuelle de la première un faisceau dans la seconde. Ces figures sont d'ailleurs dans un même plan et ont une position mutuelle déterminée, car tout point de l'une et la droite correspondante de l'autre sont liés par la condition d'être pôle et polaire par rapport à une conique fixe. Au contraire, deux figures corrélatives, assujetties aux seules conditions de la loi de dualité, n'ont entre elles aucun lien de position mutuelle. (Voir Steimbb, Systematische Entwickelung, etc. Berlin, i833, Vorrede, p. 7.)

La réciprocité des figures peut encore s'entendre dans un sens différent des deux que nous venons d'indiquer; nous reviendrons plus loin sur ce sujet.

CONSIDERATIONS AN.VLOGUËS POUR LES SURPAGES CONIQUES. igg

damentale h (122). Par suite, les points à Tinfini de h^ ne peuvent correspondre qu'à des tangentes menées du point O à la courbe A:|. La courbe h^ sera donc une ellipse ou une hyperbole, selon que le point O sera intérieur ou extérieur à la courbe Iî^ ; A*2 sera une parabole si O est un point de A i .

Si A est le pôle d'une droite a par rapport à h^j et si a^, Ai sont respectivement la polaire de A et le pôle de a par rapport à kf Al sera le pôle de a^ par rapport à/r2 ; car à un système harmonique de quatre pôles correspond un système harmonique de quatre polaires (109) et ^nce versa. Donc le centre G de Â2 sera le pôle, relatif à A', de la droite c qui est, par rapport à A^ la polaire du point O. Deux diamètres conjugues de A'2 correspondront à deux points de la droite c, réciproques par rapport à Af, et ainsi de suite.

239. Si Ton donne, dans le plan d'une conique fondamentale, un complexe quelconque de points, de droites et de courbes, et si l'on construit la polaire de chaque point, le pôle de chaque droite, la courbe polaire réciproque de chaque courbe, on obtient, un nouveau complexe de droites, de points et de courbes, qui est polaire réciproque du premier, puisque chacun des deux contient les pôles des droites de l'autre, les polaires des points de l'autre, les courbes polaires des courbes de l'autre. Si l'un de ces complexes exprime la démonstration d'un théorème, ou la solution d'un problème, le second exprimera la démonstration du théorème corrélatif ou la solution du problème corrélatif, par l'échange des éléments point et droite. Par exemple, à chaque propriété des polygones inscrits dans les coniques doit correspondre une propriété des polygones circonscrits de même espèce, et réciproquement. On peut même dire, en général, qu'il n'existe aucune relation graphique (34) d'une forme donnée dans un plan qui n'ait sa réciproque dans une autre forme ; à moins, toutefois, que la relation proposée ne soit elle-même sa réciproque, ce dont il y a des exemples.