IX. — Formes unies dans les systèmes collinéaires

244- . Si deux systèmes plans collinéaires ont comme éléments unis trois points, et par conséquent tous les points d'une ponctuelle u [fig, 65j les droites de jonction de tous les couples de points correspondants des deux systèmes concourent en un point fixe S.

Si deux gerbes collinéaires ont comme éléments unis trois plans, et par conséquent tous les plans d'un faisceau «, les droites d'intersection de tous les couples de plans corres^ pondants des deux gerbes sont situées sur un plan fixe 2.

Fi(j. C5.

Chaque point de u correspondant à lui-même, deux ponctuelles correspondantes quelconques, /et l^, ont. comme point uni un certain point A de tf et sont par conséquent perspectives. Les droites telles que DD|, E£|, ..., qui joignent les points D, £, . . . de / aux points correspondants D(, El, ... de /f, concourent donc en un même point S.

Cela posé, si les deux systèmes sont situés dans un même plan, et si P est

Chaque plan de u correspondant à lui-même, deux faisceaux de plans correspondants quelconques, / et /|, ont comme plan uni un certain plan « de u et sont par conséquent pers|)ectifs. Les rayons tels que ^^i, esi , . . . , suivant lesquels les plans ^, e, ...

de / sont coupés par les plans correspondants ^i,ei, . . . de /|, sont donc situés dans un plan 2.

Cela posé, si les deux gerbes sont concentriques, et si fr est le plan de

FORMES UNIES DANS LES STSTÉMES GOLLINÉAIRES.

le point d'intersection d'un rayon quelconque DDi, passant par S, et de la droite u, la droite PD correspond à la droite PDi, c'est-à-dire à ellemême, puisque le point P correspond à lui-même. Tout rayon passant par S coïncide donc avec son correspondant; d'où il suit que deux points correspondants quelconques sont situés sur un rayon passant par le point S.

Si, au contraire, les systèmes se coupent suivant une droite n^ deux droites telles que DDj, EEi, joignant deux couples quelconques de points homologues, sont situées dans un même plan et consequemment se coupent. Mais toutes les droites qui joignent les couples de points homologues ne sont pas dans le même plan ; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'si la condition de passer |)ar un même point fixe S (17). Les deux systèmes plans sont donc des sections d'une même gerbe S.

jonction d'un rayon quelconque 99 1, situé sur 2, et de Taxe u, le rayon ir^ correspond au rayon 77^1 , c'està-dire à lui-même, puisque le plan ir correspond à lui-même. Tout rayon situe sur ^ coïncide donc avec son correspondant; d'où il suit que deux plans correspondants quelconques se coupent suivant un rayon du plan 2.

Si, au contraire, les gerbes ont des centres diflerents, situés sur l'axe //, deux droites telles que J^i, esi, intersections de deux couples quelconques de plans homologues, sont situées dans un même plan et consequemment se coupent. Mais toutes les droites d'intersection des couples de plans homologues ne passent pas par un même point; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'à la condition d'être situées dans un même plan 2 (17). Les deux gerbes sont donc des projections d'un même système plan 2.

Quand on se bo/'ne à considérer les systèmes plans non supeiv posés et les gerbes non concentriques, ces deux théorèmes remarquables peuvent être énoncés ainsi :

Deux systèmes plans coUinéaircs, non superposés^ sont perspectifs quand ils ont trois points unis sur la droite commune à leurs plans.

Deux gerbes collinéaires, non concentriqucs , sont perspectives quand elles ont trois plans unis passant par la droite commune à leurs centres.

Les propositions inverses apparaissent immédiatement :

Deux systèmes plans perspectifs, non superposés, ont comme éléments unis tous les points de la droite commune à leurs plans.

Deux gerbes perspectives, non concentriques^ ont comme éléments unis tous les plans qui contiennent la droite commune à leurs centres*

ao4

245. Deux systèmes plans colli" néaires superposés qui ont une ponc^ tuelle unie ( c*est-à-dire tons les points de celte ponctuelle unis] ont aussi unfaisceau de rayons uni (c'està-dire tous les rayons de ce faisceau unis).

Soient 2 et 2| les deux systèmes proposés, u leur ponctuelle unie, a et a^ deux droites qui se correspondent dans les deux systèmes. Les deux ponctuelles situées respectivement sur a et a^ sont projectives, à raison même de la collincation. Elles ont d'ailleurs comme élément uni leur point commun sur la ponctuelle unie u ; donc elles sont perspectives.

Soit b wvk rayon quelconque du faisceau de rayons T qui projette les ponctuelles <z, <7|, et soient B, Bt, M les points où ce rayon rencontre respectivement les ponctuelles ri, Oy^ u.

Le point B ûe a correspondant au point B| de a^ et le point M correspondant à lui-même, le rayon b est son propre correspondant, et il en est ainsi de tous les autres rayons de T. Les deux systèmes plans 2 et 2i ont donc le faisceau T de rayons uni.

Propositions inverses :

Deux systèmes plans collinéaires superposés qui ont un faisceau de rayons uni ont aussi une ponctuelle unie.

En eÉfet, les deux gerbes concentriques, qui projettent les systèmes plans d'un centre quelconque, ont

Deux gerbes collinéaires concen-triques qui ont un faisceau de plans uni ( c'est-à-dire tous les plans de ce faisceau unis) ont aussi un faisceau de rayons uni (c'est-à-dire tous les rayons de ce faisceau unis).

Soient S et Sj les deux gerbes proposées, u leur faisceau de plans uni, a et a^ deux rayons qui se correspondent dans les deux gerbes. Les deux faisceaux de plans qui ont pour axes respectifs a et Ui sont projectifs, à raison même de la collincation. Ils ont d'ailleurs comme élément uni leur plan commun dans le faisceau de plans uni u ; donc ils sont perspectifs. Soit b un rayon quelconque du faisceau de rayons T suivant lequel se coupent les faisceaux de plans a, âTi, et soient p^ |3|, fi, respectivement, les plans des faisceaux a^ a,, Uf qui passent par ce rayon. Le plan pdea correspondant au plan Pi de ^i et le plan fA correspondant à lui-même, le rayon b est son propre correspondant, et il en est ainsi de tous It-s autres rayons de T. Les deux gerbes S et S| ont donc le faisceau T de rayons uni.

Deux gerbes collinéaires concen^ triques qui ont un faisceau de rayons uni ont aussi un faisceau de plans uni.

En effet, les deux systèmes plans superposés, suivant lesquels les gerbes sont coupées par un plan quelconque.

RELATION PERSPECTIVE DANS LES FORMES DE LA SECONDE ESPÈCE. ao5

un faisceau de plans uni et par conséquent aussi un faisceau de rayons uni. Ce faisceau de rayons est coupe (lar le plan des deux systèmes suivant une ponctuelle unie.

ont une ponctuelle unie et par conséquent aussi un faisceau de rayons uni. Ce faisceau de rayons est projeté, du centre commun aux deux gerbeSy suivant un faisceau de plans uni.

X. — Relation perspective dans les formes de la seconde espèce.

246. Deux systèmes plans, collinéaires et superposés, sont diisperàpectr/s quand ils ont une ponctuelle unie, 1/, et un faisceau de rayons uni S.

Le point S, sur lequel sont alignés les couples de points correspondants, D, D| et £, £|, des deux systèmes plans, prend le nom de centre de coU iinéation,

La droite tf, lieu des points d'intersection des couples de droites correspondantes, D£, D|Ei, est dite axe de coWnéation,

Deux systèmes plans |)erspecti fs non superposés ont])our axe decollinéalion la droite d'intersection de leurs plans et ]K)ur centre de collinéation le centre de la gerbe dont les deux systèmes sont des sections.

Deux gerbes collinéaires et concentriques sont dites perspectives quand elles ont un faisceau de plans uni y i/y et un faisceau de rayons uni or (5, b).

Le plan o*, sur lequel se coupent les couples de plans correspondants, ^, ^1 et (, (, des deux gerbes, prend le nom de plan de ccdlinéation,

La droite u , Heu des plans de joi^ction des couples de droites correspondantes 9s, 9i (|, est dite ajce de collinéation .

Deux gerbes perspectives non concentriques ont pour axede collinéation la droite de jonction de leurs centres et pour plan de collinéation le lieu du système plan dont les deux gerbes sont des projections.

Deux droites correspondantes se coupent, dans tous les cas, en un point de Taxe de collinéation.