I. — Systèmes plans alliés

249. Deux systèmes plans, 2, et 2i, sont dits collinéaîres par affinité, ou alliés ('), quand leurs droites à l'infini se correspondent.

A tout point à Tinfini de l'un des systèmes correspond alors un point à l'infini dans l'autre; h tout parallélogramme, un parallélogramme, à toute ponctuelle, une ponctuelle semblable (57).

250. Pour construire deux systèmes plans alliés, il suffit de prendre arbitrairement un triangle dans Tun comme correspondant à un triangle dans Tautre. Les côtés de ces triangles forment, avec les droites h l'infini des systèmes, les deux quadrilatères complets correspondants qui déterminent, en général, la correspondance projective de deux systèmes plans collinéaires (231 ].

Soient a, b, c et a|, 6|, c^ les droites respectivement assignées comme

(*) Voir, en particulier : Poticelbt, Traité des propriétés projectiles, etc. Paris, 1 863-66. — MÔBius, Der barjcentrische Calcul, etc. Leipzig, 1827, Il Abschn. — Chaslbs, Aperçu historique, etc. ; Mémoire de Géométrie, etc. Bruxelles, 1837, Deuxième Partie, S 23. — Bellavitis, Principii délia Geometria di derivazione {^Annali di Scienze matematiche e Jisiche, t. V. Roma, i85/|, p. a'|3 et suiv.). — Witzschel, Grundlinien der neueren Géométrie, etc. Leipzig, i858, § 172-176. — Weissenbobn, Die Projection in der Ebene, Berlin, 1862, p. 163-196. — Ppaff, I^euere Géométrie. Erlangen, 1867, § 5. — Rete, Die Géométrie der £a^. Hannover, 1868, p. 43 -5 1. — Staudigl, Lehrbuch der neueren Géométrie, Wicn, 1870, III Abschn. — Hanrbl, Die Elemente der projecti^ vischen Géométrie. Leipzig, 1875, VII Abschn.

(*) Voir Baltzer, Die Elemente der Mathematik, Zweitcr Band. Dritte Auflage. Leipzig, 1870, p. 191. Les figures alliées {affini) ont été considérées par Clairaolt {Mémoires de l'Académie des Sciences. Paris, i73i), par Eulee (Introductio in ana^ Irsin inJinitesimorumyX. II, cap. XVIII) et par Poxcblet {Traité des propriétés projectiyes. Paris, 1822, n^ 326). MObios est le premier qui se soit lirré à des recherches générales sur les figures alliées {Der barrcentrische Calcul, Leipzig, 1827, p. 91 et SUIT., 23o).

ao8

correspondantes dans les systèmes plans ^, 2i et soient A, B, C, Ai, Bi, Q les sommets des deux triangles qui ont ces droites pour cotés.

Pour construire le point D| de 2i qui correspond à un point quelconque D de 2, on joint le point A au point D par la droite AD, qui coupe le côté BC du triangle en un point £, on détermine sur B|Ci le point £i qui satisfait à la proportion

BC l £Ci =^ BjC} I E|C|«

et Ton joint les points Et, A]. Le point cherché D| est évidemment (57, 249] le point de AiEi qui divise ce segment dans le rapport même suivant lequel le segment A£ est divisé par le point D.