ABC

= const.

A|B|Ci

Le théorème, ainsi démontré pour deux triangles correspondants, s'étend immédiatement à deux figures rectilignes corres|>ondantes quelconques, car ces figures peuvent être décomposées en triangles correspondants au moyen de diagonales.

Le théorème s*étend aussi aux figures à contour curviligne, puisqu*il est vrai pour toutes les figures rectilignes qu*on peut inscrire ou circonscrire aux curvilignes et dont les aires |>euvent difierer aussi peu qu'on voudra des aires de celle-ci.

253. Les figures équivalentes constituent un cas particulier des figures alliées. Deux systèmes plans allies sont équivalents, quand deux figures homologues quelconques de ces systèmes sont équivalentes.

On doit concevoir ici Téquivalence dans un sens plus restreint qu'en planimétrie. En effet, deux quadrangles, KLJilN, KiLiM|N|, par exemple, ne sont des figures correspondantes de systèmes alliés que si les triangles KLM, KLN, KMN et LMN, contenus dans le quadrangle KLMN, ont des aires respectivement égales à celles des triangles Kj L| M^, R^ Li Ni , K| M| Nj et L|M|N|.

ni. — CoiirbeB correspondanteB dans les systèmes alliés.

SSi. Deux courbes correspondantes ^ dans deux systèmes alliés y ont le même nombre de points à l'infini et le même nombre d'asymptotes.

En effet, à tout point à l'infini de l'une des courbes doit correspondre un point à l'infini de Tautre, et à toute tangente en un point à Tinfini de la première, une tangente au point à Tinfini correspondant de la seconde; donc :

Deux systèmes plans étant alliés, une ellipse, une parabole, une hyper^ bole de l'un correspondent respectivement à une ellipse, à une parabole, à une hyperbole de l'autre.

Il est aisé de démontrer que, réciproquement :

Deux ellipses, deux paraboles^ ou deux hyperboles étant données, les points de V une peuvent être rapportés d'une infinité de manières aux points de l'autre, de façon à fournir deux figuies alliées,

255. Pour allier deux paraboles données, il suffit de prendre arbitrairement deux points de l'une et de leur assigner comme correspondants deux points quelconques de l'autre.