COURBES CORRESPONDANTES DANS LES SYSTEMES ALLIES

Soient k et k^ (Jig» 68) les deux paraboles données, CA et CB les tangentes aux points A et B de la première, CfAi et CiBi les tangentes aux

Fig. 68.

Fig. 69.

points Al et Bi de la seconde. Si nous prenons les triangles ABC, A^BiCi comme correspondants dans les deux systèmes alliés, la parabole k du premier système, qui passe par les |>oinls A et B et qui touche en ces points les droites AC, BG, aura précisément pour correspondante, dans le second système, la parabole A}, qui passe par les points Ai et B| et qui touche en ces points les droites AiCi, BiC|.

Le segment parabolique AA-B et le triangle ACB sont entre eux dans le même rapport que le segment A| A:iB| et le triangle AjCiBi. Mais les points A, B ont été pris arbitrairement sur la parabole k ; donc :

Un segment parabolique quelconque est en rapport constant avec le triangle formé par sa corde et par les tangentes aux ex^ trémités de son arc.

Soit G [fig* 69) le point milieu de la corde AB ; la droite GG est rencontrée en son milieu D par la parabole (138). Soit, d'autre part, £F la tangente à la parabole au point D ; cette droite est parallèle à la corde AB et divise en deux parties égales les tangentes AG, BC. Si nous représentons par (AB), (DB), (AD) les segments paraboliques respectivement limités par les cordes AB, DB, AD, nous aurons

(AB) [DB] (AD) ABG "" DBF "" ADE "" ''''

m étant un nombre constant.

ai a GEOMETRIE DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE XV.

On Toit d'ailleurs, par la figure, que

(AB) = ABD -f- (DB) -f- (AD);

donc

Mais

On a donc

m [ABC — DBF — ADE) = ABD.