IV. — Systèmes plans semblables. Systèmes homothétiques
259. Deux systèmes plans collinéaires, 2, 2i, sont dits semblables, lorsque chaque angle de l'un est égal à Tangle correspondant de l'autre.
Il résulte immédiatement de cette défininition que deux faisceaux quelconques de rajronSf qui se correspondent dans des systèmes semblables, sont égaux (58).
COURBES PERSPECTIVES, SEMBLABLES ET HOMOTHKTIQUES. CONGRUENCE. 21 5
Deux systèmes semblables sont aussi alliés.
En effet, à deux droites parallèles de 2 correspondent deux droites parallèles de 2i et, consëquemment, à chaque point à Tinfini de 2 un point à rinfinide ^p
Les côtés des triangles correspondants, dans 2 et 2i, sont proportionnels, car les triangles sont équiangles ; donc :
Les segments correspondants de deux systèmes plans semblables sont entre eux dans un rapport constant.
Deux systèmes semblables sont perspectifs quand les côtés d'un angle dans 2 sont respectivement parallèles aux côtés de l'angle correspondant dans 2|.
En effet, dans ce cas, deux droites correspondantes quelconques sont parallèles et les systèmes plans ont la droite à l'infini unie.
260. Deux systèmes semblables perspectifs, qui ne sont pas des sections parallèles d'une même gerbe, sont superposés et ont un faisceau de rayons uni. On dit en ce cas que les deux systèmes sont semblables et semblablement placés ou homothétiques (*), et le centre du faisceau de rayons uni, c'est-àdire le point où concourent les droites qui joignent les couples de points correspondants, est appelé centre de similitude ou à'homotlwtie.
Y. — Conrbes perspectives, semblables et homothétiqaes.
Congmence.
261 . Pour mettre deux courbes du second ordre semblables en position perspective, il suffit de les disposer de telle façon que deux cordes (ou deux tangentes] non parallèles de Tune deviennent respectivement parallèles aux cordes (ou aux tangentes) correspondantes de l'autre. Deux cordes (ou deux tangentes) correspondantes quelconques sont alors parallèles.
Si les deux coniques sont dans un même plan, les points correspondants sont alignés sur un point fixe. Si elles ne sont pas dans un même plan, elles sont des sections parallèles d'une même surface conique.
(*) Les figures semblablement placées ont été étudiées par Ecclide (VI, p. i8, XI, p. 37). Voir aussi, sur cette relation particulière : les Œuvres mathématiques de SiMO!! Stev:n de Bruges. Leyde, i634* — Chasles, dans les Annales de Mathématiques de Gkrgorki, t. XVIII, p. 380.
2l6 GÉOMÉTBIB DE POSITION. — CHAPITRE XVf«
Deux paraboles peuvent toujours être considérées comme semblables ; car, si Ton ramène leurs plans et leurs axes au parallélisme, deux cordes (ou deux tangentes) correspondantes quelconques seront parallèles.
Deux ellipses ou deux hyperboles ne sont semblables que si leurs axes sont proportionnels.
Les deux coutbes sont homothétiques lorsque deux couples de diamètres conjugues de Tune sont respectivement parallèles à deux couples de diamètres conjugués de l'autre.
Deux hyperboles semblables ont des angles asymptotiques égaux.
262. Deux figures sont dites congruentes lorsque deux segments correspondants quelconques de ces figures sont égaux. La congruence est donc un cas particulier de la similitude.
Dans les systèmes plans congruents, deux angles correspondants quelconques sont égaux entre eux.
Il est facile de reconnaître le rapport qui existe entre la relation de congruence et celle de coUinéation. Les figures congruentes sont un cas particuUer des figures semblables, comme celles-ci sont un cas particulier des figures alliées, qui sont elles-mêmes un cas particulier des figures collinéaires.
Il est évident que deux systèmes plans congruents quelconques peuvent être mis en position perspective d'une infinité de manières.
