COURBES CORRESPONDANTES DANS LES SYSTÈMES ALLIÉS

conjugués de l'une ont pour correspondants deux diamètres conjugués de l'autre.

En effet, à une série de cordes parallèles dans l'une correspond une série de cordes parallèles dans l'autre, et, par suite de la proportionnalité des segments correspondants, au point milieu d'une corde correspond le point milieu de la corde correspondante. A.ux asymptotes de Tune des hyperboles correspondent les asymptotes de l'autre.

257. Pour allier deux hyperboles données ^ il suffit de faire correspondre aux asymptotes de Vune les asymptotes de Vautre et y en outre, à un point ou à une tangente de Vune y un point ou une tangente de Vautre*

Cela revient à dire que les hyperboles peuvent être rapportées projectivement entre elles, de telle façon qu'aux deux points à l'infini et à un troisième point quelconque de l'une correspondent respectivement les points à rinfiui et un troisième point quelconque de l'autre. Les deux systèmes plans

Fig. 71.

dans lesquels se trouvent les deux hyperboles sont alors rapportés collinéairement entre eux ; de plus ils sont alliés, car les droites de jonction des points à l'infini des deux hyperboles, c'est-à-dire les droites à l'infini des systèmes, se correspondent.

258. Pour allier deux ellipses don nées ^ il suffit de prendre deux points de Vune, situés sur deux diamètres conjugués^ et de leur assigner comme correspondants deux points de Vautre ^ pareillement situés sur deux diamètres conjugués.

Soient k elk^ [fig, 71) les deux ellipses données, ABCD et AiB^CiDi les parallélogrammes, respectivement inscrits à ces courbes, qui ont pour diagonales les couples de diamètres conjugués AG et BD, A^ C^ et B^ D^ , choisis

arbitrairement ; soient, en outre, M, Mi les centres des deux ellipses. On prend comme correspondants, dans les deux systèmes alliés, les points A, B, C et A|, B|, Ci. Au point milieu M de AC correspondra le point milieu M] de AiC|, et à Tellipse k, qui touche en A et C deux droites parallèles à MB, et qui passe par B, correspondra Tellipse k^^ qui touche en Al et Cl deux parallèles à MiBi et qui passe en outre par Bi.

On peut substituer aux diamètres conjugués MA et MB d^une ellipse k deux autres diamètres conjugués quelconques.

Dans toutes les positions de MA et de MB, Taire du parallélogramme ABCD est à celle de Tellipse k comme Taire du parallélogramme A|BiCi Di est à celle de Tellipse ki. Il s'ensuit que :

Tous les parallélogrammes inscrits dans une ellipse, et dont les dia" gonales sont deux diamètres conjugués^ ont même aire.

\jt parallélogramme circonscrit, dont les côtés touchent Tellipse aux points A, B, C, D, est double du parallélogramme ABCD. Donc :

Tous les parallélogrammes circonscrits à une ellipse^ et dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués, ont même aire.

Si 2 a et 2^ sont les longueurs des deux axes d*une ellipse, ^ab est Taire de tout parallélogramme circonscrit dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués. Si Tellipse est alliée à un cercle de rayon r, Taire S de Tellipse est à ^ab comme Taire irr* du cercle est à Taire 4^^' du carré circonscrit au cercle. Donc

S: ^ab = 77/^ :4r2, d'où

S = vab.

Donc : l'aire de l'ellipse est égale au produit des demi^axes par le nombre tt.

Le cercle étant divisé en quatre parties égales par deux diamètres conjugués, il en est de même de Tellipse.