II. — Surface engendrée par denx gerbes réciproqnes

264. Deux gerbes réciproques non concentriques étant données, le lieu des points oii les rayons de l'une rencontrent les plans correspondants de l'autre est une surface du second ordre qui passe par les centres des deux gerbes.

Soît H? la surface engendrée par les gerbes données, S et S|, et soit a un plan quelconque de S, coupant la surface suivant une courbe qu'il s'agit de déterminer. Au plan a correspond, dans la gerbe S|, un rayon a^, et au faisceau de rayons de S, situé dans le plan a, correspond, dans S|, un faisceau de plans qui a pour axe le rayon a^. Ces deux faisceaux correspondants et projectifs (228) engendrent (142, III) une courbe du second ordre qui est commune au plan a et à la surface ¥. La même courbe peut d'ailleurs être considérée comme engendrée par le faisceau de rayons de S situé sur a et par le faisceau de rayons suivant lequel le faisceau de plans ai est coupé par le plan a ; par où Ton voit que la courbe du second ordre commune à la surface V et au plan a passe par les points S et a^a [6i).

On démontrerait de la même manière que tout plan de la gerbe Sj coupe la surface V suivant une courbe du second ordre qui passe par le point S|.

Il suit de là qu'une droite quelconque g, nécessairement située dans un plan S^ qui coupe la surface suivant une courbe du second ordre, a tout au plus deux points communs avec cette courbe et par suite avec la surface elle-même. Hf est donc une surface du second ordre passant par les centres S et S« des gerbes génératrices-

La droite g pourra, dans un seul cas particulier, être contenue tout entière dans la surface. Ce cas est celui où un rayon quelconque du faisceau a repose sur le plan correspondant du faisceau ai . La courbe d'intersection se résout alors en un système de deux droites (98).

265. Toute droite g y passant par S, a en général un second point, différent de S, commun avec la surface. Ce point est celui où la droite g est coupée par le plan yi qui lui correspond daas la