SURFACE ENGENDRÉE PAR DEUX GERBES RECIPROQUES

gerbe S4. Il coïncide avec S dans le cas seulement où fx passe par le rayon S| S, commun aux deux gerbes.

Tout rayon de S, qui n^a pas un second point commun avec la surface, est tangent à celle-ci au point S.

266. A toute tangente en S correspond un plan passant par SS4. Toutes les tangentes à la surface, passant par S, sont donc situées (225) dans le plan de la gerbe S qui correspond au rayon commun SS|. Ce plan est appelé plan tangent à la surface du second ordre au point S. Donc :

Le rayon commun aux deux gerbes génératrices d'une surface du second ordre a pour correspondant, dans chacune des deux gerbes, un plan tangent à la surface.

267. A la proposition fondamentale du n® 264 correspond la proposition inverse suivante :

Une surface quelconque du second ordre Y peut toujours être engendrée au moyen de deux gerbes réciproques, ayant pour centres deux points S, Sx pris arbitrairement sur la surjace.

Soient, en effet, X et f* les deux coniques d'intersection de la surface ^ et de deux plans qui passent par S, mais non par S|. Soît T le point où la droite commune aux deux plans rencontre de nouveau ¥ ; ST est une corde commune aux deux coniques X et /x. Faisons passer par la droite S|T un plan, pris arbitrairement, qui rencontre de nouveau X en L et fx en M. Soient, finalement, L| et La deux autres points quelconques de X et M|, M2 deux autres points de f/..

Construisons (230) deux gerbes réciproques, ayant pour centres S, S|, et telles qu'aux rayons S(L|, L2, M|, M2) correspondent les plans S|(LL|, LL2, MM|, MM2). Au rayon ST, commun aux plans SLL|L2, SMM4M2, correspondra dès lors le plan S«LMT. Soit Y| la surface du second ordre engendrée par les deux gerbes considérées. La section de cette surface par le plan SLL4L2 est la conique engendrée par les faisceaux projectifs S(T, L|, L2), L(T, L| , L2). Cette conique passe parles cinq points S, L, L| , L2, T; elle coïncide donc avec X. De même, la section de ¥| par le plan

SMM1M2 coïncide avec |ll. Les coniques X, [i elle point S^ situé en dehors d'elles, sont donc communs aux surfaces Y et Y|. Tout plan passant par S4 coupe V et V| suivant deux coniques qui coïncident, car elles ont cinq points communs : le point S| et les quatre intersections du plan considéré avec X et avec fx. Donc les surfaces Y et Y 4 se réduisent à une seule.

Les propriétés démontrées pour les centres arbitrairement choisis des deux gerbes génératrices de la surface du second ordre s'étendent à tous les autres points de cette surface ; donc :

Une surjace du second ordre est touchée, en un quelconque de ses points, par un plan qui contient toutes les tangentes à la sur^ face en ce point.

Tout autre plan, passant par le même point, coupe la surface suivant une conique qui, dans un cas particulier, se résout en deux: droites.

Le plan S|LMT ayant d'ailleurs été pris arbitrairement, nous concluons que :

Deux gerbes, dont les centres sont sur une surface du second ordre, peuvent être rapportées entre elles d'une infinité de manières, de façon à engendrer la surface.