DISTINCTION DES SURFACES DU SECOND ORDRE

parcourt la surface, pendant que le plan sécant tourne autour de la droite g.

Deux cas peuvent alors se présenter :

i^ Deux positions, m^ et m^y de la droite mobile, ont un point N commun ;

2^ Deux positions de la même droite n'ont aucun point commun.

Dans le premier cas, le point N ne peut être situé que sur la droite gj car les plans gmx et gm^ (17) sont différents l'un de l'autre.

Soient A et B deux points quelconques de la surface du second ordre, situés en dehors des droites g y m^, m^, et soient X, /x les coniques suivant lesquelles la surface est rencontrée par deux plans quelconques passant par A et B. Les coniques X, fA sont projetées du point N au moyen de deux surfaces coniques qui sont identiques ; ces surfaces ont, en effet, les cinq rayons communs NA, NB, g-, mi, ma, et chacun de leurs rayons appartient à la surface du second ordre donnée, puisqu'il contient trois points de cette surface, savoir : le point N et un point de chacune des coniques X et ^. La surface du second ordre donnée est donc, en ce cas, une surface conique.

Soient, dans le second cas, m^j m^y m^ trois positions quelconques de la droite mobile. Toute droite coupant mi, ms, m^ appartient à la surface du second ordre. Les trois points d'intersection sont, en effet, communs à la droite et à la surface, et celle-ci peut encore être décrite par une droite mobile s'appuyant sur les trois droites fixes mi, m^, m^ (144). La surface du second ordre est donc une surface doublement rccliligne, c'est-à-dire un hyperboloïde simple ou un paraboloïde hyperbolique.

269. Les surfaces du second ordre qui ne contiennent aucune droite sont : V ellipsoïde, le paraboloïde elliptiqueetV hyperboloïde à deux nappes.

L'ellipsoïde n'a aucun point commun avec le plan à l'infini.

Le paraboloïde elliptique est touché par ce plan en un point.

L'hyperboloïde à deux nappes esl coupé^ par le plan à Tinfinl, suivant une courbe du second ordre.

Toutes les sections planes de Tellipsoïde sont des ellipses.

Les sections du paraboloïde elliptique ne sont des paraboles que si Je plan sécant contient la direction dans laquelle est situé le point à rinfini du paraboloïde. Dans tous les autres cas, les sections sont des ellipses.

Les sections de Thyperboloïde à deux nappes sont des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, selon que le plan sécant n*a aucun point commun avec la courbe à Tinfini de la surface, ou qu'il contient un point de cette courbe, ou qu'il en contient deux.

270. On peut facilement reconnaître a priori si la surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques quelconques, S et S|, est doublement rectiligne, conique ou non rectiligne. Il suflit de rechercher, en effet, si la surface et Fun quelconque de ses plans tangents ont deux droites communes, ou n'en ont qu'une seule, ou enfin n'en ont aucune. Or le rayon SS| de la gerbe S a pour correspondant le plan tangent au point S|(64), et tous les rayons du faisceau de tangentes S| correspondent à tous les plans du faisceau SS|. Cela étant :

Si deux rayons du faisceau S| sont situés sur les plans qui leur correspondent dans le faisceau SS|, ces deux rayons sont communs au plan tangent et à la surface du second ordre, et cette surface esl doublement rectiligne.

Si un seul rayon de S4 est situé sur le plan correspondant de SS| , les deux gerbes engendrent une surface conique.

Si aucun des rayons du faisceau de tangentes n'est situé sur le plan qui lui correspond, la surface du second ordre n'est pas rectiligne.

Dans le cas tout à fait particulier où trois plans du faisceau SS|, et par conséquent tous les plans de ce faisceau, passent par les rayons de S| qui leur correspondent, la surface du second ordre se résout en deux plans, et toute conique commune à la surface et à un plan quelconque se résout elle-même en deux droites.