IV. — Droite polaire

275. Deux droites sont dites polaires l'une de l'autre, par rapport à une surface du second ordre, lorsque les plans polaires des points de l'une passent par l'autre; et dans ce cas, vice versd, les pôles des plans de l'une sont situés sur l'autre. Ainsi, à toute droite de l'espace en correspond une autre comme polaire.

Nous pouvons maintenant exprimer la double proposition précédente dans les termes suivants :

Si une droite passe par un point, sa polaire est située dans le plan polaire de ce point.

Si une droite est située dans un plan, sa polaire passe par le pôle de ce plan.

Une droite g étant donnée, on construira sa polaire g\j soit en cherchant les plans polaires de deux points de g et déterminant l'intersection de ces plans, soit en cherchant les pôles de deux

CONSTRUCTION DU POLE d'uN PLAN DONNÉ. 2*27

plans passant par g et déterminant la droite qui joint ces pôles. On déduit immédiatement les conséquences suivantes :

La droite g, qui joint deux points quelconques d'une surface du second ordre, a pour polaire la droite d'intersection g^ des plans tangents à la surjace aux deux points considérés.

Vice versa : la droite g ^ d'intersection de deux plans tangents quelconques à une surjace du second ordre a pour polaire la droite qui joint les points de contact de ces plans.

Cas particulier :

Toute tangente g à une surface du second ordre a pour polaire une autre droite g^ , tangente à la surface au même point.

En effet, la tangente g se trouvant sur le plan de contact, sa polaire g^ doit contenir le pôle G de ce plan, c'est-à-dire le point de contact. Mais la tangente g passe par le point G; g^ doit donc se trouver sur le plan polaire de G, c'est-à-dire sur le plan tangent.

Dans tout autre cas, la polaire g^ d'une droite g peut encore être déterminée de la manière suivante :

On coupe la surface du second ordre par deux plans qui contiennent la droite g, et l'on cherche les pôles de g par rapport aux deuK courbes d'intersection. Ces pôles se trouvent sur la droite g^ , car le plan polaire de l'un quelconque d'entre eux passe par la droite g,