V. — Gonstmction du pôle d'un plan donné

276. Le pôle d'un plan a, par rapport à une surface du second ordre, est le point où concourent les polaires des points et des droites du plan a. Le pôle est déterminé par deux de ces polaires. Les plans tangents en tous les points communs au plan donné a et à la surface du second ordre passent aussi par le pôle. Si par une droite quelconque du plan a on fait passer deux plans tangents à la surface, le pôle se trouve sur la droite de jonction des deux points de contact, et il est harmoniquement séparé de » par les plans de contact.

YI. ^ Surfaces polaires réciproques.

277. La polarité des surfaces du second ordre conduit a un cas particulier de la réciprocité dans l'espace .

Un système quelconque de points, de droites et de plans étant donné, si Ton détermine, par rapport à une surface fixe du second ordre, les plans polaires de ses points, les droites polaires de ses droites et les pôles de ses plans, on obtient un second système dont les points, les droites et les plans correspondent respectivement aux. plans, aux droites et aux points du premier. Aux points d'une droite correspondent les plans passant par une autre droite; en d'autres termes, à une ponctuelle correspond un faisceau de plans, et il est évident que ces deux formes sont projectives (228).

Deux systèmes ainsi disposés sont dits polaires réciproques, A toul théorème, relatif à l'un, correspondra le théorème réciproque, relatif à l'autre.

Si, dans le premier système, un point décrit une surface S du ^ième ordre, le plan correspondant à ce point, dans le second système, restera tangent à une surface S i de la n**"* classe (*).,A un point P de la première surface correspondra un plan iTi , tangent à la seconde ; aux droites tangentes à H en P correspondront les droites tangentes à S| et contenues dans le plan 7i|. Mais les premières tangentes sont dans le plan tt, qui touche H en P, et les secondes passent par le point P|, où H{ est touchée par iti ; donc le plan tt est précisément celui qui correspond au point P| .

II résulte de là que, si un point décrit la surface S| dans le second système, le plan correspondant du premier système restera tangent à la surface S. Dès lors, si S est de la ri^^'^^ classe, £| sera du //»*"« ordre. Ainsi apparaît manifeste la parfaite réciprocité entre les surfaces S et S|, qu'on appelle, pour ce motif, surfaces po-laires réciproques ( ^ ) .

(') Vordre d'une surface quelconque est détermine par le plus grand nombre d'intersections possibles de cette surface avec une droite. La classe d'une surface déreloppable dépend du plus grand nombre de plans tangents qu'on peut mener à cette surface d'un même point.

{*) II convient de rappeler, à ce sujet, le Mémoire de Mo;(Ge sur les surfaces réci' \

proques, qui est mentionné dans une liste de ses différents Mémoires, placée au corn-

GERBE DE PLANS ENVBU>PPB DE TOUTE SURFACE DU SECOND ORDRE. 112g

Il est presque superflu d'ajouter que tout polyèdre inscrit dans Tune des deux surfaces a pour polaire réciproque un polyèdre circonscrit à l'autre, et vice versa.

vn. — Gerbe de plans enyeloppe de tonte surface dn second ordre.

278. Toute surface du second ordre est enveloppée par une gerbe de plans du second ordre.

Considérons la surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques, S etS|, c'est-à-dire la surface dont chacun des points est déterminé (264) par l'intersection d'un plan de S et du rayon correspondant de S|. Les plans et les rayons de ces deux gerbes réciproques ont respectivement pour pôles et pour polaires, par rapport à la surface du second ordre, des points et des droites situés sur les plans polaires des centres S et S|, c'està-dire (274) sur les plans tangents à la surface en S et en S|. Ces points et ces droites constituent donc deux systèmes plans, 2 et

méncement de son jippUcation de VÂnaiyse à la Géométrie (3^ édition, Paris, 1809, p. 4)* Ce Mémoire n'a pas été publié, mais il résulte d'une Note jointe à son titre que les surfaces considérées par Monge sont polaires réciproques par rapport au paraboloide de rérolution qui a pour équation a;'-r-^'= oc. Il est à regretter que le Mémoire de MoTiGB soit resté inédit. Il eût été intéressant de connaître la voie qui a conduit ce géomètre à ses surfaces réciproques, et surtout de savoir quel usage il faisait de cette invention.

Chasles a fait connaître un nouveau système de surfaces réciproques, analogues & celles de Monge, mais qui ne font point partie des surfaces polaires. Ces nouvelles surfaces ont entre elles une relation géométrique que Chables exprime de la manière suivante : Une surface étant donnée^ on pourra lui imprimer un mouvement infiniment petit, tel que les plans normaux aux directions que prendront ses différents points, pendant ce mouvement, seront précisément les plans tangents à la surface réciproque. Le mouvement à imprimer sera le résultat des deux mouvements élémentaires simultanés, dont le premier sera de révolution autour de V axe des z regardé comme fixe , et le se^ cond de translation dans la direction de cet axe.

Ces dernières surfaces réciproques et celles de Moxgb sont des cas particuliers de surfaces dont l'expression analytique, beaucoup plus générale, a été donnée par Chasles {Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, Note XXX. — Rapport sur les pro^ grès de la Géométrie, Paris, 1870, p. 90]. Voir aussi, au sujet des surfaces réciproques considérées par Momce, les recherches de A. de Morgan : Metkods of integrating par^ tial differential Equations ( Transactions de la Société philosophique de Cambridge^ |8'|9, t. VIII, p. 6o6-6i3). — On some points of the intégral Calculus {làid., i8ji, t. IX, p. 119).

S|y qui sonl évidemment réciproques (S25, 275) et qui engendrent (S63, 264) une gerbe de plans du second ordre à laquelle appartiennent les plans £ et Z| . Tout plan de cette gerbe contient un point P de 2, par exemple, et le rayon correspondant y^;'^ deZi. Mais le point P de 2 est, par construction, le pôle d'un plan « de S et le rayon p\ de L| est la droite polaire du rayon p^ de S| qui correspond au plan tt. Le plan Vp\ de la gerbe du second ordre est donc le plan polaire du point izp^ ; et, comme ce point appartient à la surface (264), son plan polaire P^', est tangent à la même surface en Tzpx . La surface du second ordre est donc enveloppée par la gerbe du second ordre formée de l'ensemble des plans tels que Pp',.

VIIL — Points conjugués et plans conjagués.

279. Deux points, P et Pi, sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre, quand l'un d'eux, Pi, est situé sur le plan polaire TT de l'autre; auquel cas le {>oint P est pareillement situé sur le plan polaire TTi de Pi (274).

Un point P et une droite g sont conjugués quand P est sur la polaire de g et quand, par suite, le plan polaire de P passe par g.

Deux plans, tt et tti, sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre, quand l'un d'eux, TTi, passe par le pôle P de l'autre; auquel cas le plan ir passe pareillement jjar le pôle Pi de ^tj.

Un plan tt et une droite g sont conjugués quand tt passe par la polaire de g et quand, par suite, le pôle de TT est sur g.

Deux droites sont dites conjuguées lorsque chacune d'elles et la polaire de l'autre sont situées dans un même plan.

Un point est donc conjugué à tous les points et à tous les rayons situés dans son plan polaire ; un pian, à tous les rayons et à tous les plans qui passent par son pôle; enfin, une droite g à tous les points situés sur sa polaire g^, à tous les plans qui passent par g^ et à toutes les droites qui sont coupées par ^,.

Tout point de la surface, toute droite tangente et tout plan tangent à la surface, sont conjugués à eux-mêmes.

280. Si deux points A etB sont conjugués par rapport à une surface

Si deux plans k et p sont conjugués par rapport à une surface du

POINTS CONJUGUES ET PLANS CONJUGUÉS. aSi

de second ordre, ils sont aussi conjugués par rapport à toute courbe du second ordre résultant de la section de la surface par un plan du fais^ ceau AB«

second ordre, ils sont aussi conjU" gués par rapporta toute surface co~ nique du second ordre enveloppant la surface et ayant pour centre un point de la droite oe|3.

En effet, d'après Thypothèse, le plan polaire du point A passe par B. Ce plan contient d'ailleurs la polaire de A par rapport à la courbe d'intersection du second ordre ; celte polaire commune à deux plans doit par conséquent contenir le point B, commun aux deux mêmes plans.

Il résulte de là que, si g est une droite non conjuguée avec elle-même, et si l'on rapporte entre eux deux points conjugués de la ponctuelle gj ou deux plans conjugués du faisceau gy les points de la ponctuelle ou les plans du faisceau seront accouplés involutoirement.

Si, dans un faisceau de rayons, dont le centre et le plan ne sont pas conjugués avec eux-mêmes, les rayons conjugués se correspondent deux à deux, tous les rayons sont accouplés involutoirement.

Cette dernière proposition peut être ramenée à la précédente, car on peut déterminer, dans le plan du faisceau, un point conjugué à chaque rayon ; on obtient ainsi une ponctuelle en involution, à laquelle le faisceau de rayons est perspectif.

a3a GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES XVI ET XVII.