III. — Axes principanz et sommets

287. Tout diamètre d'un ellipsoïde ou d'un hyverboloïde est conjugué à un plan diamétral et à tout diamètre situé dans ce plan.

Le plan diamétral divise en deux parties égales les cordes de la surface qui sont parallèles au diamètre conjugué, et vice versa, le diamètre passe par les centres de toutes les coniques de la surface dont les plans sont pa^ rallèles au plan diamétral conjugué.

a34 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — APPENDICE AUX CHAPITRES XVI ET XVII.

Deux diamètres^ conjugués par rapport à une surface du second ordres sont aussi conjugués par rapport à la courbe d'intersection de cette surface et de leur plan.

En effet, toutes les cordes de la courbe, parallèles à l'un des diamètres, sont divisées par l'autre en deux parties égales.

Les diamètres de la surface situés dans le plan sécant sont, par conséquent, involutoireraent accouplés (280).

Un diamètre perpendiculaire aux plans des sections dont il contient les centres prend le nom à^axe principal de la surface du second ordre. Les points où l'axe rencontre la surface se nomment sommets,

288. Si la surface est un parabololde, elle n'a qu'un seul axe principal a^ sur lequel se trouvent les centres des coniques (sections de la surface) dont les plans sont perpendiculaires à la direction commune de tous les diamètres.

Les plans diamétraux qu'on peut faire passer par l'axe a sont conjugués entre eux deux à deux. Le faisceau de plans a est donc involutoire (280). En le coupant par un plan perpendiculaire à a, on détermine un faisceau involutoire de rayons; et, selon que ce dernier faisceau est ou n'est pas rectangulaire, tous les couples de plans conjugués du faisceau a, ou seulement deux plans, oc et oci, de ce faisceau, sont perpendiculaires entre eux. Le plan oc, perpendiculaire et conjugué à tous les plans perpendiculaires à l'axe principal a, est d'ailleurs perpendiculaire à la direction dans laquelle est situé son pôle à l'infini; il divise donc en deux parties ^ales toutes les cordes du parabololde qui lui sont perpendiculaires, et peut dès lors être nommé plan de symétrie de la surface, La même remarque s'applique au plan oc|, conjugué rectangulaire de a. Donc :

Le paraboloïde a au moins deux plans de symétrie qui se coupent à angle tlroit suivant l'axe principal.

Lorsque tous les plans passant par l'axe de symétrie a sont des plans de symétrie, toutes les courbes d'intersection du paraboloïde par des plans perpendiculaires à a sont des cercles, car elles ont un faisceau de diamètres orthogonaux (132). On a, dans ce cas, un parabololde de rotation.

289. Les diamètres d'un ellipsoïde ou d'un hyperbolo!de ne sont pas, en général, perpendiculaires aux plans diamétraux qui leur sont respective* ment conjugués. Lorsque cette condition se réiilise, tout diamètre est un axe principal de la surface, et l'on a, comme cas particulier de l'ellipsoïde, la surface sphérique. Chaque faisceau de diamètres est alors rectangulaire et, conséquemment, le plan de chaque faisceau coupe la surface suivant un

AXES PRINCIPAUX ET SOMMETS: a35

cercle. On voit encore par là que, dans ce cas particulier, tous les points de la surface sont équidistants du centre.

£n général, pour Tellipsolde comme pour l'hyperbololde, à un diamètre quelconque d correspond un seul diamètre conjugue perpendiculaire r/^, qui est l'intersection de deux plans diam,étraux, Tun (^i perpendiculaire à d et Tautre <? conjugué au même diamètre.

Si le diamètre d décrit, autour du centre de la surface, un faisceau 7 de rayons, le plan diamétral ^, conjugué à </, décrit un faisceau de plans projcctif au faisceau 7 (275) ; l'axe ^ de ce faisceau de plans est conjugué à 7. Dans le même temps, le plan diamétral (^1, normal à d^ décrit un second faisceau de plans, dont Ptixe g^ est normal au plan 7. Le faisceau de plans g^ est paiement projectif au faisceau de rayons 7 ; car deux rayons quelconques de celui-ci comprennent entre eux le même angle que les plans du premier qui leur sont respectivement perpendiculaires. Les faisceaux de plans g et g^ sont par conséquent projectifs entre eux et engendrent, en général, une sur* face conique du second ordre. En d'autres termes :

Si un diamètre d de V ellipsoïde ou de Vhyperboloïde décrit autour du centre un faisceau 7 de rayons, le diamètre di, qui est conjugué et perpen^ diculaire à d^ décrit en même temps autour du centre une surface conique du second ordre.

Une exception se présente dans le cas où le faisceau 7 de rayons contient un axe principal de la surface; alors, en effet, les faisceaux de plans g et gx ont comme élément uni le plan diamétral conjugué à Taxe principal, et sont I)ar conséquent perspectifs.

290. Les résultats qui précèdent servent à la recherche des axes princi- ])aux dans l'ellipsoïde et dans l'hyperbololde.

On suppose construites les surfaces coniques du second ordre r et £, re* latives à deux fiiisceaux de diamètres 7 et s ; s est choisi de telle sorte qu'un diamètre intérieur et un autre extérieur à la surface conique r soient situés sur E. Les surfaces coniques concentriques F et E se coupent donc, et elles ont au moins deux rayons communs, quatre au plus. Un de ces rayons communs est conjugué et ]3erpcndiculalre au rayon commun des faisceaux de diamètres 7 et «; tout autre rayon «, conjugué et per- |)endiculaire à un diamètre dans 7 et à un diamètre dans s , est conjugue et perpendiculaire au plan de ces diamètres, ce qui revient à dire que a est un axe principal de la surface.

Le plan diamétral a, conjugué à a, est un plan de symétrie, car il divise en deux parties égales les cordes qui lui sont perpendiculaires.

L*învolution de diamètres conjugués située dans a contient une infinité de couples ou un seul couple de rayons rectangulaires.

Dans le premier cas, le plan a et tous les plans parallèles à a coupent la surface suivant des cercles. La surface est donc engendrée par la rotation d'une ellipse ou d'une hyperbole autour de l'axe n ; on la nomme, pour ce motif, surface rie rotation.

Dans le second cas, soient b et c les rayons conjugués perpendiculaires : b étant conjugué et perpendiculaire k a et k c; c étant de même conjugué et perpendiculaire k a etk b, il s'ensuit que b et c sont des axes de la surface. Donc :

L'ellipsoïde et i'/tjrperboloide ont en général tfvis axes.

On est conduit à des conclusions analogues quand la surface est un cane. En efiety une surface conique du second ordre peut être considérée comme cane asymptote d'un hyperboloîde, et deux diamètres, conjugués par rapport à rhyperbololdcy sont aussi conjugués par rapport au cane. Donc :

Toute surface du second ordre {ellipsoïde, bjrperboloïde ou cône) a trois axes perpendiculaires et conjugués entre eux deux à deux, et les trois plans tléterminés par ces axes sont des plans de symétrie de la surface.

Quand la surface est de rotation, elle a une infinité d'axes princi[)aux.

ESPACES GOLLIXÉAIRES ET RECIPROQUES. aSj