I. — EBpaces collineaires et réciproqaes

291. Deux espaces, S et Sj, sont dits collineaires lorsqu'à tout point Pde S correspond un point P| de S|, et à toute droite ou à tout plan de Z, passant par P, respectivement une droite ou un plan de 2I|, passant par P|.

Deux espaces, Z et Z|, sont dits réciproques lorsqu'à tout point P de S correspond un plan tTi de Zi, et à toute droite ou à tout plan de Z, passant par P, respectivement une droite ou un point de £| situés sur tTi.

Deux espaces collineaires ou réciproques à un troisième sont collineaires entre eux (226).

292. Quand deux espaces sont collineaires, à tout système plan du premier correspond, dans le second, un système plan collinéaire, à toute gerbe une gerbe collinéaire, à toute ponctuelle une ponctuelle projective, etc.

Quand deux espaces sont réciproques, à tout système plan de Tun correspond, dans Tautre, une gerbe réciproque, à toute ponctuelle un faisceau projectif de plans, etc.

Si les espaces S et £{ sont collineaires, au plan à Tinfini de S

correspond, en général, un plan propre de S|, et, pareillement, au plan à rinfini de Z4 , un plan propre de Z. Il suit de là que :

Quand deux espaces sont collinéaires, aux droites parallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent respectiy^ement, dans l'autre, des droites et des plans qui se coupent sur le plan correspondant au plan impropre du premier, et vice versa.

Deux, espaces étant réciproques, au plan à Tinfini, considéré comme élément de l'un, correspond, en général, un point propre dans l'autre . Par suite :

Quand deux espaces sont réciproques, aux droites peirallèles et aux plans parallèles de l'un correspondent respectivement,, dans l'autre, des droites d'un plan passant par le point qui correspond au plan impropre du premier et des points d'une droite passant par le même point.

A quatre éléments harmoniques d'un espace, considéré en général, correspondent toujours quatre éléments harmoniques de l'espace coUinéaire ou réciproque. Dès lors, et d'après les relations qui viennent d'être établies, deux espaces collinéaires ou réciproques sont aussi projcctifs. Il s'ensuit que :

Si, dans deux espaces collinéaires ou réciproques, trois éléments d'une forme fondamentale simple (43) ou encore quatre éléments de même genre d' une forme Jondamentale de la seconde espèce (242) sont unis, tous les éléments de la forme fondamentale considérée sont unis.

Dans le second cas, toutefois, on doit supposer que trois des quatre éléments donnés n'appartiennent pas à une même forme fondamentale simple.

293. Pour rapporter réciproquement entre eux deux espaces, Z et Z4 , on prend dans S deux gerbes A, B, et on les rapporte réciproquement aux systèmes plans «4, |3|, situés dans £|, de telle sorte que la droite AB ait pour correspondante la droite d'intersection ai(3i, et qu'à tout plan commun aux gerbes, passant par AB, corresponde un point commun aux systèmes plans, situé sur ««Pi. Dans ces conditions, à tout point P de £ correspondra