ESPACES COLLINÉAIRBS ET RÉCIPROQUES

un plan tt, dans £4, et à tout rayon /, passant par P, un rayon /|, situé sur tTi .

Si Ton donne dans l'espace Z un système plan quelconque e, au moyen duquel les gerbes A et B sont rapportées projectivemenl entre elles, de façon à avoir le faisceau de plans AB uni, les systèmes plans «1 et |3{ de S{ sont en même temps rapportés coUinéairement entre eux, de façon à avoir la ponctuelle aijSf unie. Conséquemment, a^ et|3| sont perspectifs (244), et ils engendrent une gerbe qui est en correspondance réciproque avec le système plan e. Au plan e de Z, qui passe par une droite / ou par un point P, correspond donc un point E^ , qui est situé sur la droite correspondante /| ou sur le plan correspondant tTi. Donc :

Deux espaces, Z c;£ £|, peuvent être rapportés l'un à l'autre, de telle sorte qu^à deux gerbes A etB deX correspondent, dans Si , deux systèmes plans a^ et ^i réciproques à ces gerbes.

Il suffit pour cela que la réciprocité entre A et ai et entre B et j3| soit établie, de telle sorte qu'à tout plan commun aux points A et B corresponde un point commun aux plans ai et (3|. Nous pouvons donc conclure que :

Deux espaces y 2 et S, , sont rapportés réciproquement entre eux lorsqu'à cinq points A, B, C, D, E du premier [dont quatre quelconques ne sont pas dans un même plan) on attribue comme correspondants, dans le second, cinq plans ««, pi- y<, îi, «4 [dont quatre quelconques ne passent pas par un même point).

La gerbe A ne peut être rapportée réciproquement au système plan oCi que d'une seule manière et de telle sorte qu'aux rayons AB, AC, AD, AE correspondent réciproquement les rayons «i^i, «i7m o^i^u «1*1 (231). De même, il n'existe, entre la gerbe B et le système planai, d'autre relation réciproque que celle qu'on

'JiiO

obtient en faisant correspondre les quatre couples de rayons BA et l3| «o BC et (3| y, , BD et (3, 5, , BE et Pi s^ . Et, puisqu'à trois plans communs ABC, ABD, ABE des gerbes A etB correspondent respectivement les trois points communs oci/S^yi, a,/3|}|, ai ^i £« des systèmes plans a^ et ^i, à tout plan du faisceau AB correspondra un point unique de la ponctuelle «1^4. La proposition se trouve ainsi ramenée à celle qui précède.

294. On a de même la proposition suivante, relative aux espaces coUinéaires :

Pour rapporter collinéairement deux espaces, Z e£ S| , il suffit d'assigner comme correspondants :

A cinq points quelconques de l'un, dont quatre ne doivent jamais être situés dans un même plan, cinq points de l'autre, assujettis à la même condition.

A cinq plans quelconques de l'un y dont quatre ne doivent jamais passer par un même point, cinq plans de l'autre, assujettis à la même condition.

Tout élément de^ a dès lors son correspondant dans £« .

On peut établir cette proposition directement, comme on Ta fait pour les espaces réciproques ; mais on la démontre plus simplement en observant que deux espaces réciproques à un troisième sont coUinéaires (226, 291), et en ramenant ainsi le cas de coUinéation à celui de réciprocité.

On peut, en effet, rapporter les deux espaces proposés à un troisième, en faisant correspondre à cinq plans quelconques de celui-ci, respectivement, cinq points donnés dans chacun des deux premiers. La relation de coUinéation est ainsi établie entre les espaces proposés.

On pourrait prendre, au lieu de cinq points dans chacun des espaces,' cinq plans, dont quatre ne passent jamais par un même point. Il suit de là que :

Si deux espaces coUinéaires ont cinq points unis, dont quatre ne soient jamais situés dans un même plan, ou cinq plans unis, dont quatre ne passent jamais par un même point, ces espaces ont tous leurs éléments unis et sont identiques.

CORRESPONDANCE DES FORMES DANS LES ESPACES COLLINBAIRES, ETC. ^l

n. — Correspondance des formes dans les espaces collinéaires

on réciproques.

295. Il est intéressant d^étudier les relations qui existent entre les formes de l'espace qui se correspondent dans les espaces collinéaires ou réciproques. Mais, avant d'aborder ce sujet, nous devons exposer quelques notions relatives aux courbes gauches, qu'on désigne aussi sous le nom de courbes à double courbure,

P et Q étant deux points d'une courbe gauche, si l'un d'eux, Q, se meut sur la courbe, la droite PQ décrit une surface conique qui a pour centre P et qui projette la courbe de ce point. Si le point Q va s'approchant du point fixe P, PQ s'approche d'une droite fixe/;, avec laquelle elle finit par coïncider lorsque Q coïncide avec P. Cette droite p est la tangente à la courbe au point P, et l'on dit de tout plan passant par p qu'il touche la courbe au point P. Un tel plan, passant par un point quelconque R de la courbe, décrira un faisceau de plans p projetant la courbe, lorsque le point R parcourra celle-ci. Si le point R va s'approchant du point P, le plan /?R ira s'approchant d'un plan fixe tt, avec lequel il finira par coïncider lorsque R coïncidera avec P. Ce plan r prend le nom de plan osculateur de la courbe au point P. On peut donc considérer toute tangente comme la droite de jonction de deux points de la courbe séparés l'un de l'autre par une distance infiniment petite, et tout plan osculateur comme le plan de jonction de trois points de la courbe assujettis à la même condition.

Toutes les tangentes à une courbe gauche forment dans l'espace un faisceau de rayons enveloppant la courbe, et tous les plans osculateurs un faisceau de plans osculant la même courbe.

296. Soient maintenant h et hx deux courbes gauches qui se correspondent dans des espaces collinéaires. A toute droite qui joint deux points de la courbe A*, et à tout plan qui joint trois points de la même courbe, correspondent la droite et le plan qui joignent respectivement les deux points et les trois points correspondants de la courbe A*! . A la tangente et au plan osculateur en un point quelconque de A*, correspondent donc aussi respeclive-

^il GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVIII.

ment la tangente et le plan osculateur au point homologue de A I .

Si un point P décrit la courbe k, pendant que la tangente p décrit le faisceau de rayons enveloppant k et que le plan osculateur TT décrit le faisceau de plans osculant la courbe, le point P| parcourt dans le même temps la courbe A|, la tangente correspondante /^^ décrit le faisceau de rayons enveloppant Â"i, et le plan osculateur correspondant tTi décrit le faisceau de plans osculant A^i .

On doit observer, enfin, qu'à tout plan coupant la courbe k en n points correspond un plan qui coupe la courbe kt aux n points correspondants, et que si ii tangentes à Ar, ou /z plans osculateurs de A*, passent par un point, n tangentes ou n plans osculateurs de A'i passent respectivement par le point correspondant.

Aux points à l'infini de k correspondent d'ailleurs, en général, des points propres de A|, car c'est seulement dans des cas particuliers que le plan à l'infini de l'un des espaces correspond au plan à l'infini de l'autre.

Si la courbe k se meut suivant une loi donnée et décrit une surface 4>, kt décrit en même temps une surface 4^, qui correspond à la première.

Ces surfaces sont coupées par deux plans sécants correspondants quelconques suivant deux courbes collinéaires ; et si 4> est touchée ou coupée par une droite quelconque en un nombre quelconque de points, 4>| est touchée ou coupée en autant de points par la droite correspondante. A tout plan langent à ^ correspond aussi un plan tangent à 4>4, etc.

Toutefois, les surfaces collinéaires peuvent présenter des différences essentielles, eu égard à leurs points à l'infini. Ainsi, l'une des surfaces peut être coupée par le plan à l'infini suivant une courbe, tandis que l'autre est touchée par le plan à l'infini en un point, ou même n'est pas rencontrée par ce plan. Les espaces collinéaires dont les plans à l'infini se correspondent constituent en effet un cas particulier, que nous étudierons plus loin (301).

297. Si deux espaces sont réciproques, à une courbe gauche k de l'un correspond dans l'autre une courbe gauche k^ ; à tout point P de A: correspond uu plan osculateur tTi de Ati ; à toute tangente

ESPACES PERSPECTIFS. a43

qui joint deux points de k infiniment voisins, et à tout plan osculateur qui joint trois points de k infiniment voisins, correspondent respectivement une tangente à ^^4, suivant laquelle se coupent deux plans osculateurs de la même courbe, infiniment voisins Tun de Fautre, et un point de k^ , où se coupent trois plans osculateurs dans la même condition. A tout plan qui contient n points d'une courbe ou n tangentes à cette courbe correspond un point par où passent respectivement/! plans osculateurs ou n tangentes à la courbe correspondante.