ESPACES ALLIES

Soient P, Q deux parallélépipèdes quelconques dans 2, et Pi, Qi les parallélépipèdes respectivement correspondants dans ^i. Soit, dans 2, un troisième parallélépipède R, compris entre deux faces parallèles de P et entre deux faces parallèles de Q, et soit Ri le parallélépipède correspondant à R dans 2]. Les parallélépipèdes P et R, compris entre deux mêmes plans parallèlesy ont des hauteurs égales et sont entre eux comme leurs bases. Il en est de même des parallélépipèdes Pi et Ri. Mais les bases de P et de R sont entre elles comme celles de Pi et de Rj, puisque ces bases sont contenues dans les systèmes plans alliés (2539 301). Donc

P ! R — Pi I Ri.

On a, pour la même raison.

d'où

R:Q=:Ri :Qi,

PiQnzrP, :Qi.

Fig. 7.3.

Cette dernière proportion démontre le théorème pour le cas des parallélépipèdes correspondants.

Par tout sommet A [fig, 73) d'un parallélépipède passent trois arêtes qui unissent ce sommet à trois autres, B, C, D. Le plan diagonal BCD sépare du parallélépipède un tétraèdre ABCD qui en est la sixième partie.

Détachons deux de ces tétraèdres, l'un de P, l'autre de Q ; nous pouvons les considérer comme pris d'une manière quelconque dans le système 2, puisque P et Q ont été choisis arbitrairement. Les tétraèdres correspondants dans 2i sont des portions de Pi et de Qi situées de la même manière; et puisque

nous avons démontré que deux tétraèdres quelconques tlu système 2 sont entre eux comme les deux tétraèdres cotrespondants de2,i.

Le théorème s'étend aux solides limités d'une manière quelconque par des plans, car ces solides peuvent toujours être décomposés en tétraèdres.

Il s'étend aussi aux solides limités par des surfaces courbes, puisqu'il est vrai pour tous les solides à faces planes qu'on peut inscrii*e ou circonsciîre aux premiers.

Quand le rapport de deux solides correspondants est égal à l'unité, les espaces alliés sont dits équivalents. Deux systèmes plans correspondants.

dans deux systèmes solides ëquivalentSy ne sont pas, en généra], équivalents, mais seulement alliés.

m. — Surfaces alliées.

304. Quand deux surfaces sont alliées, à tout point à l'infini de Tune doit correspondre un point à Tinfini de l'autre. Il suit de là que les deux surfîicos n'ont aucun point commun avec le plan à l'infini, ou que chacune d'elles est touchée en un point par ce plan, ou enfin que chacune d'elles est coupée par le plan à l'infini suivant une courbe à l'infini.

On sait d'ailleurs (296) qu'une surface rectiligne ne peut être rapportée collinéairement qu'à une surface rectiligne.

Il résulte de ces deux conditions qu on ne peut ailier entre elles que des surfaces du second ordre de la même espèce : par exemple, deux ellipsoïdes, deux hyperbololdes à une nappe, deux parabololdes elliptiques, et ainsi de suite.

A toute série de cordes parallèles d'une surface correspond une série de cordes parallèles dans la surface alliée ; au point milieu d'une corde correspond le point milieu de la corde correspondante. On a donc ce théorème :

Dans dewr surfaces alliées du second ordre, tout plan diamétral a pour correspondant un plan diamétral, tout couple de diamètres conjugués un couple de diamètres conjugués,

305. Pour allier deux paraboloïdes elliptiques, ou deux paraboloïdes hyperboliques, Il et IIi, on prend sur chacun d'eux une courbe du second ordre qui ne passe pas par le pointa l'infini du paraboloïde dans lequel elle est contenue et qui, par conséquent, ne soit pas une parabole; on eUlie les deux courbes entre elles ^ et cette condition suffit pour qu* à chaque point €le n corresponde un point de U^.

Soient A, B, C trois points de l'une des courbes, k, et D le pôle de son plan par rapport à la surface II; soient, en outre, Ai, Bj, Ci les points correspondants de l'autre courbe, Ai, et Di le pôle de son plan par rapport à lli. Les espaces dans lesquels se trouvent les parabololdes sont alors allies, de telle sorte qu'aux sommets du tétraèdre ABCD correspondent respectivement les sommets du tétraèdre AiBiCiDi.

Mais les systèmes plans ABC, AiBiCi sont eux-mêmes alliés; dès lors, la courbe k a pour correspondante la courbe Ai, et les cônes tangents aux surfaces n et IIi, au moyen desquels les courbes k et k^ sont respectivement projetées de D et de Di, se correspondent entre eux. Les diamètres