SURFACES ALLIÉES

d et di des surfuces n et n^, qui joignent respectivement les points D et Di aux centres de k et de Ai, se correspondent aussi. Enfin, à toute parabole située sur n, coupce par k en deux points K, L et contenue dans un plan passant par </, correspond, dans le second espace, une parabole coupée par ^1 aux points Ki, L^ et contenue dans un plan passant par dy. Cette seconde parabole se trouve précisément sur la surface IIi, car elle a en commun, avec une courbe plane de cette surface, sa tangente à l'infini, plus les points Kf et Li, plus encore les tangentes Di K| et Di Li qui correspondent aux tangentes DK et DL de la première parabole. Or, tout point de II se trouve sur une parabole disposée comme il vient d'être dit et a, par conséquent, pour correspondant un point de TIj. Les surfaces n et IIi se correspondent donc entre elles.

306. Si les paraboloides n et n^ sont elliptiques, les segments détachés par les plans des ellipses k et ky sont entre eux comme les cônes DA*, D^Ai. Mais les ellipses A et A| sont prises arbitrairement sur les deux surfaces. Donc :

Fîg. 74.

Toui segment d'un parabolotde elliptique est en rapport constant avec le cône circonscrit au paraboloïde, suivant la base du segment.

Pour déterminer ce rapport constant, on peut choisir le cas très-simple où le parabololde est engendré par la rotation d'une parabole AOB [fig, 74 ] autour de Taxe OF, la base AB du segment étant perpendiculaire à l'axe et passant par le foyer F de la parabole. Le sommet D du cône circonscrit est alors un point de la directrice de la parabole et Tangle ADB est droit. On prend les segments OP, OP^, égaux et opposés ; on mène PMQ, P| Qi et OC perpendiculaires à DF, et Ton a

Mais donc