I. — Systèmes plans réciproques superposés

312. Quand on superpose deux systèmes plans réciproques, £ et £|, tous les points de leur plan commun peuvent être considérés comme appartenant aussi bien à H qu'à £|. A chacun de ces points correspondent donc deux rayons , Tun dans £, Tautre dans £|. Pareillement, à chaque droite du plan correspondent deux points, puisque chaque droite peut être attribuée à Tun ou à Tautrc des deux systèmes réciproques.

Il convient donc de modifier le mode de notation suivi jusqu'à ce moment, et de désigner chaque élément du plan par deux lettres. En désignant, par exemple, un seul et même point par AB,, on exprimera qu'au point A du système H correspond un rayon a^ du système Z«, et qu'au même point, considéré comme appartenant à E| et désigné par B|, correspond un rayon b de Z.

313. Deux systèmes plans ainsi disposés donnent lieu à des recherches analogues à celles qui nous ont précédemment permis de vérifier si deux ponctuelles projectives superposées ont des points unis (43), de déterminer le nombre de ces points, et de formuler

a54 GÉOUÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XIX.

les conditions requises pour que les ponctuelles soient en involution (i79).

Quand un point (AB|) est sur l'un (ai) des deux rayons qui lui correspondent, il est aussi sur Vautre (i).

En efîet, au point B« de la ponctuelle a^ correspond, dans 2, d'après la définition de la réciprocité (225), le rayon b du faisceau A.

Pareillement, une droite pq^ ne passe par aucun des deux points P, et Q qui lui correspondent, ou bien elle passe par chacun de ces deux points.

Si nous projetons les systèmes réciproques Z et Z| de deux points quelconques, S et S,, les gerbes projetantes sont ellesmêmes réciproques; elles engendrent donc une surface du second ordre (263). Tout point du plan, situé sur les droites qui lui correspondent, appartient à cette surface ; car un rayon de la gerbe S est coupé en ce point par le plan correspondant de la gerbe S|. f^ice versa, tout point commun au plan des systèmes et à la surface du second ordre est situé sur les deux droites qui lui correspondent dans S et dans £«.

Cela posé, selon que le plan et la surface contiennent en commun une courbe du second ordre, ou deux droites, ou une seule droite, ou un point unique, ou enfin qu'il n'existe aucun point commun à la surface et au plan, on a l'un des cas suivants :

Quand deux systèmes réciproques reposent sur le même plan : 1° Tous les points de ce plan situés sur les droites qui leur correspondent Jorment une courbe du second oî'dre, ou un système de deux droites, ou une droite, ou bien il nj a qu'un seul point dans cette condition, ou bien enfin il n'en existe aucun;

2° Toutes les droites du plan passant par les points qui leur

correspondent Jorm^ent un faisceau de rayons du second ordre,

ou un système de deux faisceaux du premier ordre, ou un seul

faisceau du premier ordre, ou bien il n'y a qu'une seule droite

dans cette condition, ou bien enfin il n'en existe aucune.

Les formes de rayons [o?) correspondent aux formes de points ( 1°) et leur sont doublement perspectives.