SYSTEMES PLANS RECIPROQUES EX INVOLITION

Parmi les divers cas énumérés dans la proposition, le premier et le dernier présentent seuls un véritable caractère de généralité. Il arrive, en efiet, presque toujours, ou bien que la surface du second ordre et le plan des systèmes n'ont aucun point commun, ou bien qu'ils ont une courbe du second ordre commune. Lorsque le plan contient deux droites, ou une seule droite, ou un seul point de la surface, il est tangent à celle-ci et se trouve dès lors dans une position tout à fait particulière. Nous vérifjerons (315) que ces cas d'exception ne se présentent jamais dans les systèmes réciproques en involution.

n. — Systèmes plans réciproques superposés en inYolution.

314. Deux systèmes plans réciproques superposés sont dits en involution lorsqu'à chaque point du plan correspondent deux droites qui coïncident, c'est-à-dire lorsqu'une même droite correspond doublement à chaque point.

La possibilité d'une telle relation résulte de la proposition suivante :

Deux systèmes plans réciproques, 2 e^ 2, , sont en involution quand aux sommets A, B, C {fig- 75) d'un triangle de 2 correspondent les côtés opposés a<, b^y Cj, du même triangle dans 'Z y.

Il résulte immédiatement de cette ^»C- 7^-

condition que les sommets du triangle correspondent doublement aux côtés opposés. Désignons, en effet, par Ai le point d'intersection de ii et de C| dans 2| . A ce point, qui coïncide avec A de S, correspond dans Z (225) le côté a, qui joint les sommets B et C

du triangle, et qui coïncide avec la droite a, de S| ; aux points B| et Cl de 2|, qui sont les intersections des couples de côtés c,, «, et a^y i,, et qui coïncident respectivement avec les points B et C de Z, correspondent pareillement, dans 2, les côtés opposés, b et c, qui joignent les couples de sommets C, A et A, B, et qui coïncident respectivement avec les côtés J| etCi de Z|.

Au faisceau de rayons ÂÂ| correspond donc doublement la ponctuelle a«a, et au rayon bbt du faisceau correspond doublement le point B| B de la ponctuelle. Le faisceau et la ponctuelle sont par conséquent en involution (188).

 un rayon quelconque du faisceau AA| correspond doublement un point de la ponctuelle a« a, et pareillement , à tout rayon des faisceaux BB| et CC^ correspond doublement un point des ponctuelles respectives bi b et c, c.

Considérons maintenant, dans le plan, un rayon quelconque p^ ou p. Ce rayon coupe les côtés du triangle en trois points auxquels correspondent doublement trois rayons des faisceaux AA|, BB, et CC«. Au rayon p^p doit donc correspondre doublement le point PP| f où concourent ces trois rayons ; en d'autres termes, les systèmes réciproques sont en involution.