VIII. — Espaces réciproques en inYolatioii

323. Deux espaces réciproques, Z e< £1, sont en involution lorsqu aux sommets A, B, C, D d'un tétraèdre de 2 correspond dent les faces opposées «i, [3, , y,, o« du même tétraèdre dans Z|.

Au point d'intersection des plans |3|, y,, 5|, c'est-à-dire au point A de S|, correspond doublement dans Z le plan ABC ou ai ; et pareillement, à chaque autre sommet du tétraèdre correspond la face opposée à ce sommet. Il s'ensuit que le système plan cn^ , en involution avec une section de la gerbe A qui lui est réciproque, est aussi en involution avec cette gerbe elle-même. A tout point ou rayon de «« (et pareillement de j3|, y^ ou d^) correspond donc doublement un plan ou un rayon de A (et respectivement de B, C ou D). Par conséquent, à tout plan coupé suivant quatre droites par «1, |3|,yi, 5| doit correspondre doublement le point qui est projeté de A, B, C, D par les quatre rayons correspondants.

ne. — Espace polaire. Tétraèdre polaire.

324. Nous pouvons considérer les espaces en involution 2 et 2, comme un système unique, dans lequel un plan est coordonné à chaque point et une droite à chaque droite. Ce système se nomme un espace polaire. Chaque point est le pôle du plan qui lui est coordonné ; chaque droite (ou chaque plan) prend le nom de droite (ou plan) polaire du rayon (ou du point) qui lui est coordonné.

Quand l'espace polaire contient des points situés sur leurs plans polaires, ces points se trouvent sur une surface dite surface directrice du système polaire. Tout plan passant par son propre pôle touche la surface directrice en ce pôle même.

Les dénominations dont nous avons fait usage à propos de la polarité des surfaces du second ordre sont applicables aux systèmes polaires dans l'espace. On désigne en outre sous le nom de tétraèdre polaire, dans l'espace polaire, tout tétraèdre dont les sommets sont les pôles des faces opposées.

ESPACE POLAIRE. TÉTRAÈDRE POLAIRE. a63

Deux points d'un espace polaire sont dits conjugués si Tun d'eux, et par conséquent chacun d'eux, est sur le plan polaire de l'autre. Deux plans sont pareillements dits conjugués lorsque chacun d'eux passe par le pôle de l'autre.

Un point et une droite sont dits éléments conjugués de l'espace polaire si la droite est sur le plan polaire du point, et par conséquent le point sur la polaire de la droite. Un plan et une droite sont conjugués si la droite passe par le pôle du plan, et conséquemment le plan par la polaire de la droite.

Deux droites d'un espace polaire sont conjuguées si l'une d'elles, et par conséquent chacune d'elles, coupe la polaire de l'autre.

32d. U espace polaire contient une infinité de systèmes plans polaires, de gerbes polaires et de tétraèdres polaires.

Une gerbe A, dont le centre est en dehors du système plan coordonné âT, étant réciproque à ce système et en involution avec lui, le plan a est le lieu d'un système polaire dans lequel tout point est coordonné à sa droite conjuguée. Le point A est pareillement le centre d'une gerbe polaire. Tout triangle polaire du système plan polaire est projeté du point A au moyen d'un trièdre polaire de la gerbe polaire, et forme avec ce trièdre un tétraèdre polaire de l'espace polaire.

Tout système plan polaire a, qui appartient à l'espace polaire, a un centre et des diamètres, dans le cas même où il n'a pas de directrice. Le centre est conjugué à la droite à l'infini du système polaire ff, et tout diamètre est conjugué à un point à l'infini de tf. Deux diamètres conjugués sont rectangulaires et se nomment axes du système polaire «. Pareillement, les trois rayons conjugués de la gerbe polaire A, qui sont perpendiculaires entre eux deux à deux, sont appelés axes principaux de la gerbe A, dans le cas même où cette gerbe n'a pas de cône directeur.

326. Un espace polaire est déterminé quand on a pris arbitrairement un tétraèdre ABCD comme tétraèdre polaire, et un point quelconque E, qui ne doit être sur aucune des faces de ce tétraèdre, comme coordonné à un plan c, qui ne doit passer par aucun des sommets.

2G4 GÉOIIÉTRIB DE POSITION. — CHAPITRE \l\.

Nous pouvons, en effet, rapporter réciproquement entre eux deux espaces, de telle sorte qu'aux cinq points A, B, C, D, E correspondent respectivement les plans BCD, CDA, DAB, ABC et e (293). Les deux espaces sont alors en involution et forment un système polaire.