RECHERCHES ANALOGUES POUR LES ESPACES RÉCIPROQUES

la gerbe A|. On sait (313) que des points de cette sorte existent généralement dans «, et forment une courbe du second ordre qui peut, dans certains cas, se trouver réduite à deux droites, à une droite ou à un seul point.

Soit, d'autre part, j3 un plan de S passant par le point B| qui lui correspond dans Zf . Considérons ce même plan comme appartenant à S] et désignons-le par y« ; il a pour correspondant dans S un point C qui doit se trouver sur jS, puisque y, passe par B|. Au faisceau de rayons C, situé sur le plan P de £, correspond, sur le plan y^ de 2|, un faisceau de rayons qui est projectifàC et qui a pour centre le point B|. Les faisceaux de rayons C et Bi engendrent donc une courbe du second ordre, qui peut, en certains cas, se réduire à deux droites. Les points de cette courbe sont respectivement situés sur les plans de l'espace réciproque qui leur correspondent. Soit, en effet, P le point où un rayon quelconque p du faisceau C est coupé par le rayon correspondant p^ du plan yi ; à ce point P du rayon p correspond, dans le système Z|, un plan tTi qui contient le rayon p^ et qui passe dès lors par le point P.

On a ainsi démontré que le lieu géométrique des points considérés et un plan quelconque, a. ou (3, contenant une partie de ces points, ont en commun une courbe du second ordre, ou deux droites, ou une droite, ou un seul point; c'est là une propriété caractéristique de la surface du second ordre. Conséquemment :

Tous les points de l'espace situés sur les plans qui leur corres^ pondent dans deux espaces réciproques appartiennent à une surface du second ordre.

On vérifierait d'une manière analogue que :

7bu5 les plans passant par les points qui leur correspondent dans deux espaces réciproques forment une gerbe de plans du second ordre.

La gerbe de plans du second ordre correspond, dans chacun des espaces réciproques, à la surface du second ordre considérée dans la première partie de la proposition.

Il est d'ailleurs possible qu'/jucu/i point de l'espace ne soit situé sur les plans qui lui correspondent.

aG-Jl GKOMÊTBIE DE POSITION. — CHAPITRE XIX.