DIVERS MODES DE GÉNÉRATION DES CONIQUES GAUCHES

suivant trois faisceaux projectifs de rayons S, S|, Ss* qui ont respectivement pour centres les points d'intersection du plan a avec les axes a, ai, ^2. Les faisceaux de rayons S et S| engendrent une conique A' qui passe par leurs centres (64); les faisceaux S et Sa engendrent pareillement une conique Â'i qui passe par les points S et Ss- Les deux coniques ont le point S commun et peuvent se couper encore en un point au moins, en trois points au plus ; ces points d'intersection appartiennent à la forme engendrée par les faisceaux de plans, car en chacun d'eux se coupent trois plans correspondants des mêmes faisceaux. La forme engendrée est donc une courbe gauche du troisième ordre.

Nous venons de considérer le cas général où les rayons de S| et de Ss passant par S ont pour correspondants, dans le faisceau S, deux rayons distincts, respectivement tangents aux coniques A' elk^ . Le point S n'appartient pas, dans ce cas, à la courbe gauche, car il n'est commun ni à trois rayons correspondants des faisceaux S, S|, St, ni, par suite, à trois plans correspondants des faisceaux a, «i, ^2. Mais il peut arriver que les deux rayons tangents en S aux courbes k et A< se confondent en une seule tangente commune à ces deux coniques. Le point S appartient alors à la courbe gauche, car il est commun à trois plans correspondants des faisceaux de plans proposés, et les deux coniques qui se touchent en S peuvent avoir tout au plus deux autres points communs. Donc, dans ce cas encore, un plan a contient tout au plus trois points de la forme engendrée par les trois faisceaux projectifs de plans.

Trois sécantes quelconques de la courbe gauche peuvent être prises comme axes des trois faisceaux de plans générateurs -, ces faisceaux devront être rapportés projectivement de telle sorte que trois de leurs éléments correspondants quelconques se coupent en un point de la courbe.

334. On peut encore obtenir les courbes gauches du troisième ordre au moyen des surfaces coniques et rectilignes du second ordre.

Si deux surjaces rectilignes, ou une surface rectiligne et une surface conique, ou encore deux surfaces coniques non concentriques, toutes du second ordre, se coupent suivant un rajon a.

elles ont aussi en commun une courbe gauche du troisième ordre.

Les intersections des deux surfaces par un plan a sont, en effet, dans chacun de ces trois cas, des courbes du second ordre, c'està-dire des courbes qui peuvent avoir au plus quatre points communs (160). L'un de ces quatre points est sur le rayon a\ les trois autres appartiennent donc à une courbe gauche du troisième ordre.

On peut encore arriver à cette conclusion en considérant les courbes gauches comme engendrées par trois faisceaux projectifs de plans (333). Nous rappellerons, en effet, que deux de ces faisceaux se coupent suivant une surface conique (63), ou suivant une surface doublement rectiligne (145), selon que leurs axes sont ou ne sont pas dans un même plan.

La condition du rayon commun « (*) peut d'ailleurs être mise en évidence de la manière suivante ;

Soient A, B, G, D, E, F six points quelconques d'une courbe gauche A du troisième ordre. Les trois sécantes AB, CD, EF peuvent être considérées comme axes des trois faisceaux générateurs a, rt|, «2- Deux quelconques de ces faisceaux engendrent alors une surface doublement rectiligne, et deux quelconques des trois surfaces ainsi engendrées ont en commun, outre la courbe A, l'une des trois sécantes AB, CD ou EF.

Si l'on admet que les faisceaux générateurs a, rz,, a^ aient respectivement pour axes les sécantes AB, AC et CD, les faisceaux a et «2 engendreront une surface doublement rectiligne, pendant que a et a^ engendreront une surface conique du second ordre, et les deux surfaces contiendront la droite AB.

Enfin, si l'on prend comme axes les sécantes AB, AG etBC, deux quelconques des trois faisceaux de plans engendreront une surface conique du second ordre, et deux quelconques de ces surfaces se couperont suivant la courbe k et suivant l'une des trois droites AB, AG ou BG.

(*) Cette condition est nécessaire, car Tintersection de deux surfaces du second ordre est en (général une courbe du quatrième ordre. Mais nous ne considérons ni ce cas général, ni ceux où la courbe gauche du troisième ordre peut se résoudre en une conique, ou en trois droites, ou même se réduire à une ou à deux droites.

PLAN OSCULATEUR EN l'N POINT d'uNE CONIQUE GAUCHE. J.yi

335. Dans le dernier cas considéré, deux quelconques des trois faisceaux de plans ont pour axeç deux sécantes qui se coupent en un point de la courbe ; les deux faisceaux engendrent une surface conique du second ordre qui a ce point pour sommet et qui doit contenir la courbe. Donc :

2hute courbe gauche du troisième ordre est projetée de chacun de ses points par une surface conique du second ordre.

Et par suite :

Toute courbe gauche du troisième ordre est projetée de chacun de SCS points, sur un plan quelconque , suiv^ant une courbe du second ordre.

C'est à raison de cette propriété qu'on appelle aussi les courbes gauches du troisième ordre coniques cubiques ou coniques gauches.