I. - Point à l'infini

10. Si un rayon (droite indéfinie) tourne dans un plan autour d'un point fixe S [fig- i), il détermine, pourchacune de ses posi-

Fig. I.

lions, un point sur une droite u située dans le même plan et ne passant pas par S. Si le rayon accomplit sa rotation dans un

(') La question des éléments à Tinfini a été récemment discutée avec chaleur dans la Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht de Hopp- HARX (Leipzig, Dnick und Verlag Ton B.-G. Teubner). Voir Erster Jahrgang (1870)» p. 279, ^ç^i'^^^. Zweiter Jahrgang (i^'ji)y p. 391-409, t{^^-So^j. Dritter Jahrgang {\%'j2)f p. 11-18, i55-i62, 249-267. On voit reparaître sous cette forme l'ancienne question des parallèles, sur laquelle les géomètres d'autrefois ont si longuement débattu.

(')On trouve, dans l'ouvrage cité, ces lumineuses idées sur l'infini: 1. Unr

sens et revient à sa position initiale, il sera passé par tous les points de Uy mais une seule fois par chacun d'eux. Quand le rayon mobile est parallèle à la droite ii, on dit qu'il passe par le point à l'infini de cette droite. 'Une droite n'a qu'un seul point à l'infini y car le rayon mobile n'est parallèle à u que dans une seule de ses positions (*).

De là résulte immédiatement que deux droites parallèles ont le même point à l'infini. Deux droites dans un plan ont toujours un point commun (à distance finie ou infinie). Toutes les droites parallèles entre elles et situées dans un plan forment un faisceau de rayons dont le centre est à l'infini. Toutes les droites de l'espace parallèles entre elles forment une gerbe dont le centre est aussi à rinfini.

Pour dislinj^uer le point à l'infini d'une droite des points situés sur celte droite à distance finie, on a coutume d'appeler le premier point impropre et les autres points propres.

iliH^îlo pont être considérée comme prolonj^éc à Tinfini, auquel cas les deux extrémités o)t)u»soos se Joignent entre elles. — 2. Les droites |KiraUèles sont des droites contH>uranteHà l'infini et réciproquement. — 3. Une droite et un cercle sont deux espèces d'un nu nu« genre, dont le tracé peut être énoncé dans les mêmes termes. Gaulée avait doj»» exprimé cette dernière idée (Toir en effet les Lrttrre famigliari del conte Lo- HKNro MvcALorri, P, /. Veneiia, MDCCXIX, Lettre XV1«, p. ^ù\\ Une étude faite en rue de uioltre en évidence les conceptions philosophico-mathématiques de ce grand savant oui^Uitrjiit trés*prolMib)ement à reiHioîllir de nouveaux et importants matériaux pour lo ju<>'inent à porter sur sa roethmie. Sur ce point comme sur quelques autres, nous avons malheurtHtseroent à rejr\»tter que c^^rtaines lacunes s'opj^sent à une plus o\,«ote «pprtviation du tribut 4p{H>rte par Caulix aux pn^grès des Mathématiques prv^prf^ment dites^.

I>k:^\IICVK$ v**/** *^^'^ ^ ÎCcvrD>x '^Ph:*o<o^hnr' naturaUf primcipia matkernaiicn, ^^l) c\«nsidèrt^ut le» asymptotes des hyperboles comme des tan|[]>«ntes dont les ptiuts de Cx^ntjK't sont a «lixtanee infinie. Bliusfaui^ G-ttmJzù^e^i.ti^r Tkrorirfit atzs Jrr nrme^ rrm «t<^v*»i^.*-«*« elc. llalle« iSJ*^,, p, »»'' al'Urme que l^taMn a exprime la même conception et que D«:s\'.KKTts s'y est aus:si ranje, mais il ne speeiâe pas les sources auxquelles il a )^uise«

/'^ Ou b«on « pstrve que, djins un plan et par un point, on ne peut mener qu'une seule drvsieqvi Me«.v»;jv jvn* uiîe drv^ile doîîiîe^ •. l>tledt>lîm-tioo fondamentale a été •i*î*e e» K mierv* |v*r G^is», a la En \ie i~v>i : mais eîîe n"a fai;, de sa ^^ri^lobjet d'anc«iMe |H;bucatîoti ^4H*v»A^e. On U lr\^«t<f icvixqueo dans le* >otivv* bvbux^çra|^iques de t»xr» «le qKeî^ue* ecMt* de S»'*»», de Vcttkxxk-» et de XûtAXS ^C^^zi^'-z^'srkf jpf\^'^ 4k^.''^^ >S'X p. èï-, et iSîv p. f» '.*' et ausii daas l« IrTT^rs Jr Gxrssm S>ia\tt«kMK, t. îL p. •v'^iS et 4,»u ^. p^ ï^Ô Sà»Tv«;i:s, C^jcajv cxit il^:\àyt:x:>s^ p^ Si\ \vMr RiiT»ft, »\tr f .'ftif^.r -tVf-- .V«c;K-<wu,';i, t, 11« drttte Ai&!:!a^. Letfalf, 1S70,

DROITE A l'infini. 9

11. On arrive à concevoir, en quelque manière, le point à l'infini d*une droite comme la limite des positions d'un point mobile qui la parcourrait, d'un mouvement continu et indéfini, dans l'un ou dans l'autre sens. Le point à l'infini apparaît alors comme situé de part et d'autre de la droite. Toute droite n'ayant, ainsi qu'on l'a déjà observé, qu'un seul point à l'infini, on doit admettre que toute droite est une ligne fermée, dont les deux parties s'étendent en directions opposées et se rencontrent en un point à l'infini ou point impropre.

Cela posé, il est clair qu'une droite ne peut pas être divisée en deux parties par un seul point et que deux points sont nécessaires pour efiectuer cette division. L'un des deux segments contient le point à l'infini et a une étendue infiniment grande, tandis que Tautre a une longueur finie : à moins, toutefois, que l'un des deux points de division ne soit situé à l'infini, auquel cas les deux segments seraient infiniment grands. '

Si l'on désigne par I le point à Tinfini et par A et B les deux points qui divisent la droite en deux segments, tous les points du segment AJB sont séparés de ceux du segment AB par les points A et B; c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de passer d'un point de l'un des segments à un point de l'autre sans franchir A ou B. Il résulte de cette observation qu'un seul point A d'une droite ne sépare pas deux autres points quelconques de cette droite, et que si deux points, tels que B et C, sont situés de part et d'autre de A, il n'est pas nécessaire de passer sur A pour aller de B à C ; car on peut, à cet effet, parcourir aussi le chemin infini à travers le point à rinfini.

Sur quatre points A, B, C, D d'une droite, qui se suivent dans l'ordre même où ils viennent d'être nommés, deux couples seulement sont séparés l'un de l'autre, savoir : AC par BD, et réciproquement BD par AC ; les points qui se suivent immédiatement, comme A et B, ou A et D, ne sont pas séparés.

Les mêmes considérations s'appliquent à quatre rayons a, bj c, d d'un faisceau de rayons S et à quatre plans a, (3, y, 5 d'un faisceau de plans u.