Toute droite d'un plan donné n'ayant qu'un point à l'in

lO GEOMETRIE DE POSITION. — CHAPITRE II.

fini y le lieu des points à V infini du plan est une droite ( * ) ; car la droite est la seule ligne qui ait un point, et un seul point, commun avec une autre droite quelconque du plan. On donne à cette droite le nom de droite à l'infini du plan.

Si deux plans sont parallèles, toute droite de Tun a ses parallèles dans l'autre ; dès lors, les deux plans ont les mêmes points à Tinfini, c'est-à-dire la même droite à Tinfini. Deux plans se coupent toujours suivant une droite (située à distance finie ou infinie).

Comme on dit des droites parallèles qu'elles ont la même direction, on dit aussi des plans parallèles qu'ils ont la même position ('); et de même que, pour chaque direction, on a un point ù rinfini, de même aussi, pour chaque position, on a une droite a rinfini. Tous les plans parallèles, considérés d'une manière quelconque dans l'espace, passant par une même droite à l'infini, on peut les concevoir comme un faisceau de plans dont l'axe est à l'infini.

Tous les plans parallèles à une même droite ont un point commun, qui est le point à l'infini de cette droite, et forment une erbe, qui a pour centre le même point.

cr

m. — Plan à rinfini.

13. La surface à l'infini ou impropre, dans laquelle se trouvent tous les points et toutes les droites à l'infini de l'espace, devra être considérée comme un plan, le plan à l'infini, puisqu'elle est coupée par toute droite propre en un point et par tout plan propre suivant une droite.

D'ailleurs, deux droites quelconques, situées à l'infini, pouvant être considérées comme les intersections respectives de deux

(*) Voir, aa sujet de cette expression symbolique : A. Transon, De l'infiniy ou Meta' phjsique et Géométrie. Évreux, 1871. — A. Transon, Sur une propriété des asymptotes et sur cette locution : « Les points à l'infini sur un plan sont en ligne droite it {Nouvelles annales de MatliématitfueSj y" série, t. XII, 1873, p. 289). — Lamarle, Aote sur l'emploi de l* infini dans l'enseignement des Mathématiques élémentaires {^Mémoires de l'Académie Royale de Belgique, t. XXVIl).

(*) L'expression /»ojiVto/i d'un plan {Stellungeiner Eùene) est due à Stacdt, Géométrie der Loge, Nûrnberg, 1 847, p. ti5.

FORMES DE LA MJSME ESPECE OU D'eSPÉGES DIFFÉRENTES, ETC. 1 1

couples de plans parallèles, et ces quatre plans s'entrecoupant, en outre, suivant quatre droites parallèles, qui concourent en un même point à Finfini, commun aux deux droites en question, on voit que toutes les droites à Tinfini peuvent être censées se couper deux à deux; dès lors toutes ces droites, et par conséquent tous les points à Finfini de l'espace, peuvent être considérés comme appartenant à un même plan, qui est le plan à Finfini (').

IV. — Formes de la même espèce on d'espèces . différentes rapportées

entre elles.

14. On dit que deux formes fondamentales sont rapportées entre elles lorsqu'à chaque élément de Fune correspond, en vertu d'une certaine loi, un élément de l'autre. Deux formes fonda-

(*) VwiQx.ixi {Traité des propriétés projectiles des figures y etc., ii"' 96, 580) est par- Tenu à la droite à l'infini ci an plan à l'infini, à l'aide du principe de continuité, dont il a su faire un si remarquable usage. Bien que, dans le cours de nos Leçons, nous n'ayons jamais occasion d'invoquer ce principe, ou plutôt pour ce motif même, nous croyons devoir expliquer ici en quoi il consiste ; nous nous sentirons, à cet cflet, de la belle définition qu'en a donnée Chasles ( Traité de Géométrie supérieure, Paris, i852, p. ti'i'i.)

Certaines parties d'une figui'e, considérée dans un état général de construction, peuvent être réelles ou imaginaires ; quand elles sont réelles, on dit que le fait de leur existence constitue une propriété contingente de la figure ; et pour distinguer ces parties de celles qui sont absolues ou permanentes, on les appelle contingentes. Cela posé, il arrive souvent que les parties contingentes servent utilement, quand elles sont réelles, pour la démonstration d'un théorème, et que cette démonstration n'est plus possible quand ces mêmes parties deviennent imaginaires : on dit alors qu'en vertu du principe de continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend au seoond cas, et on l'énonce d'une manière générale. Le contraire a lieu quelquefois, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires qu'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on étend les conséquences au cas où les mêmes parties sont réelles.

Tel est le principe de continuité, au moyen duquel on procure aux diverses propositions de la Géométrie Textension et la généralité qui leur manquaient d'ordinaire, quand on considérait d'une manière restreinte les figures et les résultats des raisonnements qui leur étaient appliqués. Posicelkt considéra l'admission et l'usage de ce principe comme tout à fait indispensables pour donner à la doctrine des projections et aux diverses conséquences qui en dérivent la certitude et l'extension nécessaires ; il y trouva en outre le moyen d'interpréter, et d'introduire ouvertement en Géométrie, la considération des infinis et des imaginaires, qui ont une part si importante et si nécessaire dans l'Analyse algébrique et dans toutes les applications du calcul.

L'usage du principe de continuité en Géométrie date probablement des origines de

mentales rapportées à une troisième sont aussi rapportées entre elles ; en effet, à chaque élément de la troisième correspond toujours un élément de chacune des deux autres formes; d'où il suit que les deux éléments de celles-ci sont correspondants. Étant données autant de formes qu'on voudra, si la seconde est rapportée à la première et chacune des suivantes à celle qui précède, elles sont toutes rapportées les unes aux autres.

15. Pour rapporter entre elles, de la manière la plus simple et la plus claire, deux formes d'espèces différentes, on les déduit l'une de l'autre au moyen d'une projection ou d'une section, et l'on prend comme correspondants deux éléments dont l'un dérive de la projection ou de la section de l'autre.

Si, par exemple, un faisceau S de rayons {fig- i) et une ponctuelle II, qui ne passe pas par le centre du faisceau, sont situés dans le même plan, nous pouvons assigner comme correspondant à chaque rayon du faisceau le point de la ponctuelle qui se trouve sur ce rayon. Au rayon parallèle p de S correspond alors le point à l'infini de u.

Si un système plan S est considéré comme section d'une gerbe S, dont le centre est placé en dehors de S, S et S sont rapportés l'un à l'autre, de telle sorte qu'à tout point de S correspond le rayon de S passant par ce point et à toute droite de £ le plan de S passant par cette droite. A chaque segment de 2 correspond un angle plan de S, à chaque angle plan de Z, un angle dièdre de S. Au plan de S parallèle à S correspond dès lors la droite à l'infini de S, et chaque rayon de S situé dans ce plan a pour correspon-

cette science, ainsi que le fait observer LAcnoix, dans la préface de son grand Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, au sujet de la seconde proposition da livre XII des Éléments d' EuclidEi proposition qui a pour objet de prouver que les aires des cercles sont entre elles comme les carrés des diamètres. C'est par des considérations analogues qu'AncBiMÊDE s'éleva à des propositions beaucoup plus difâciles, telles que les rapports des surfaces et des solidités du cylindre et de la sphère, la quadrature de la parabole, etc. Mais l'énoncé du principe de continuité remonte seulement à Leibtiitz qui, dans une réponse à Malebbamcbe, au sujet de la doctrine des lois du mouvement, la proposé comme exprimant cette loi de la nature, que tout se fait par degrés insensibles; ou, comme le disait la philosophie scolastique : Natura tdfhorret a saltu (Voir Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, etc. Bruxelles, 1887, p. 3o3, 357).

FOUIES DE LA MÊME ESPÈCE OU D'eSPÈCES DIFFÉRENTES, ETC. 1 3

dant son point à Tinfini situé sur £. Chaque faisceau de plans de S a pour correspondant le faisceau de rayons suivant lequel il est coupé par 2 ; le faisceau de rayons devient un faisceau de rayons parallèles, dans le cas où Taxe du faisceau de plans est parallèle à £. Si S est une gerbe de rayons parallèles, ayant son centre à Tinfini, à tout point propre de S correspond un rayon propre de S et à tout élément impropre du plan un élément impropre de la gerbe. Si Z est le plan à Tinfini et S un point propre, à chaque rayon de S correspond son point à Tinfini, à chaque plan sa droite à Tinfini, à chaque faisceau de rayons une ponctuelle à Tinfini, à chaque faisceau de plans un faisceau de rayons à l'infini.

16. Deux formes fondamentales de la même espèce peuvent être rapportées entre elles d'une manière très-simple, quand on les considère comme sections ou projections d'une troisième forme. Ainsi, dans deux faisceaux de rayons ou dans deux droites ponctuelles, qui sont des sections d'un même faisceau de plans, les rayons, ou respectivement les points, situés dans le même plan du faisceau de plans, se correspondent entre eux deux à deux. * Deux faisceaux de rayons, S et Si, peuvent aussi être facilement rapportés l'un à l'autre quand ils sont les projections d'une même ponctuelle u, de telle sorte que les rayons passant par le même point de la ponctuelle se correspondent mutuellement deux à deux.

Si, dans deux gerbes, on assigne comme correspondants deux à deux les rayons qui ont même direction, cela signifie que les gerbes elles-mêmes sont considérées comme projections d'un même système plan dont le lieu est le plan à l'infini.

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