ENONCE DE L.V LOI DE DUALITE. EXEMPLES

plans, rexislence d'une certaine loi de réciprocité ou de dualité qui conduit à concevoir, dans l'espace, le point et le plan comme réciproques ; de sorte que toute proposition (quelle que soit la disposition de ses éléments à distance finie ou à l'infini) trouve son complément dans une autre qu'on déduit de la première, en substituant l'un à l'autre les éléments point et plan, par conséquent aussi les formes ponctuelle et faisceau de plans, et ainsi de suite.

Les couples de semblables propositions s'écrivent ordinairement de la manière suivante :

Deux points A et B déterminent une droite AB qui est leur ligne de jonction.

Une droite a et un point B, non situé sur a, déterminent un plan

Deux plans a et p déterminent une droite a^ qui est leur ligne d'intersection.

Une droite a et un plan p, ne passant pas par a y déterminent un point

sections de droites. La théorie des pâles et des plans polaires par rapport à une surface du second ordre permet pareillement, dans l'espace, de déduire Tun de l'autre deux théorèmes par la substitation réciproque du point et du plan, de la jonction de deux points et de l'intersection de deux plans, de l'intersection de trois plana et du plan passant par trois points. Gergonne considéra à un point de vue plus intrinsèque cette réciprocité du point et de la droite dans le plan, du point et du plan dans l'espace, et chercha à la formuler sans avoir recours à la quadrique, dont Poncelet avait fait usage pour l'établir. Mais la nette conception du principe devint ainsi un peu nuageuse; il prit comme un aspect d'axiome philosophique, très-compréhensible assurément, mais en quelque façon mystérieux, au lieu d'être un théorème fécond de la doctrine des coniques et des surfaces du second ordre.

Observons, toutefois, que la loi de dualité ou de réciprocité en général n'a pas fait sa première apparition dans la Science, à l'époque de la controverse dont nous venons de parler. On trouve à ce sujet de précieux renseignements dans la Correspondance mathématique entre Legendre et Jacobi, communiquée par Borciiardt à l'Académie royale de Berlin, dans la séance du ii mars 1875, publiée par Borchardt dans le vol. LXXX de son journal et reproduite dans les tomes VIII et IX du Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques de MM. G. Darboux et J. Hocel. II convient de signaler aussi, comme très-intéressant pour l'histoire de la même question, le Mémoire de Kroîiecker, intitulé : Bemerkungen zur Gesckichtc des Reciprocitàtsgesetzes et inséré dans le Monatsbericht der kônigUch preussischen Akademie der fFissensehaften zu Berlin, avril 1876, p. 267-275.

Si l'on voulait d'ailleurs remonter à la première origine de la loi de dualité, on en trouverait des traces dans le triangle réciproque de Viètb et d' Albert Girard et, sous une forme plus évidente, dans le triitngle supplémentaire de Snellics (voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 54-55, 234» 546. Klûckl, Mathematischet Wôrterkuch, t. IV, p. 85o.)

aB qui passe pai* la droite et par le point.

Trois points A, B, C, non situés sur une même droite, déterminent un plan ABC ( le plan de jonction].

Deux droites a ei b, qui ont un point commun, sont dans un même plan ab.

a p qui est situé sur la droite et sur le plan.

Trois plans a, p, 7, qui ne passent pas par une même droite, déterminent un point 2^7 (le point d'intersection).

Deux droites a et 6, situées dans un même plan, ont un point commun ab.

Ces propositions très-simples font encore ressortir Tutilité d'introduire les éléments à Tinfini ou impropres , sans lesquels il n'aurait pas été possible de prendre les énoncés dans toute leur généralité. C'est ainsi, par exemple, que, si Ton faisait abstraction <le ces éléments, on devrait énoncer la première proposition à droite de la manière suivante : Deux plans a et P déterminent une droite ou sont parallèles entre eux; mais, si Ton fait intervenir les éléments à Tinfîni, on peut, même dans le second cas, dire que les plans en question déterminent une droite, qui est la droite à rinfini. Des observations analogues pourraient être faites au sujet des autres propositions relatées plus haut.

Les mêmes propositions conduisent aux problèmes suivants :

Faire passer ime droite par deux points.

Faire passer un plan par une droite et par un point situé hors de la droite.

Faire passer un plan par trois points.

Faire passer un plan par deux droites qui se coupent.

Trouver la droite d'intersection de deux plans.

Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan qui ne passe pas par la droite.

Trouver l'intersection de trois plans.

Trouver le point d'intersection de deux droites situées dans un plan.

Entre autres propositions doubles, très-usitées, nous citerons les suivantes, à titre d'exemple :

Etant donnés quatre points A, B, G, D, si les droites AB et CD se coupent, les quatre points sont situés dans un même plan ; par suite, les droites AC et BD, AD et BC se coupent aussi.

Étant donnés quatre plans a, |3, 7, ^, si les droites a^ et 7^ se coupent, les quatre plans ont un point commun ; par suite, les plans «7 et p^, aJ et |37 se coupent aussi.