POLYGONE ET MULTILATÉRE PLANS COMPLETS

limitée de toutes parts par n droites qui se coupent, mais le système de /i points d'un plan et des n droites (côtés) dont chacune joint deux points (sommets) successifs. Les sommets sont considérés dans un ordre déterminé et soumis à la condition que trois d'entre eux. consécutifs ne se trouvent jamais en ligne droite. Le polygone [n-gone) simple peut encore être appelé mullilalère [n-latcrc) simple; par suite, un multilatère est le système de n droites et des n points d'intersection de ces droites prises successivement deux à deux. Le polygone et le multilatère sont des conceptions réciproques : aux lignes de jonction de deux sommets non consécutifs (diagonales) d'un polygone simple correspondent, dans le multilatère simple, les points d'intersection de deux côtés non consécutifs.

23. Outre les polygones et multilatères simples, la Géométrie moderne considère les polygones et les multilatères complets (*), et la loi de dualité n'apparaît pas moins évidente dans ces derniers systèmes. Nous appelons, en effet, d'une manière générale :

Polygone plan complet, un système

de n poiats du plan ou sommets,

dont trois ne sont jamais sur une

même droite, considérés ensemble

/i (w — i) avec les — ^^ • droites ou cotts

qui les unissent deux à deux.

n — I côtés se coupent sur chaque

sommet; il y a donc en tout

Multilatère plan complet, un système de n droites du plan ou côtés, dont trois ne passent jamais par un même point, considérées ensemble

avec les — ^ pomtsou sommets

où elles se coupent deux à deux.

n — I sommets reposent sur cha-

• ' -1 , '^ [" — I ) que cote ; il y a donc en tout — ^

(*) Le quadrilatère complet est mentionné pour la première fois par Carnot (/)« la corrélation des Jigur es de Géométrie, Paris, i8oi, p. 122), qui a été conduit à cette notion en considérant que quatre droites, tracées d'une manière quelconque dans un plan et indéfiniment prolongées, forment trois quadrilatères ayant chacun deux diagonales. Les six diagonales se réduisent effectivement à trois. Carmot a donné le nom de quadrilatère complet à l'ensemble des trois quadrilatères et de leurs trois diagonales, prolongées jusqu'à leurs rencontres réciproques. Steiner {Srstematische Entwickelutig, etc. Berlin, i832) a étendu cette conception à tous les polygones (p. 73) et aux Ggures dans Tespace (p. 235).

cotes qui se coupent en

n [ri — i) [n — 2) [a — 3) 2.4

points d'interseclLon.

Dans le polygone { n-gone ) complet, sont contenus 3,4» •••1 [^ — ') polygones simples.

sommets qui sont unis ])ar

diagonales ('].

Dans le multilatère (/i-/a/èr<?) complet, sont contenus 3,4» •••>('» — i) multilatères simples.

( *) Daos le multilatère complet, chacun des /i côtés est coupé par les (/i — i) autres en (/i — i) points, ce qui donnerait 11(11 — 1) points d'intersection si chaque point n'avait pas été compté deux fuis. Pareillement, dans le polygone complet, chacun des n sommets peut Être joint aux {n — i) autres par (n — i) droites; mais chaque droite

se présente ainsi deux fois. Les

sommets du multilatère complet pourraient

en outre être joints par

droites, si chaque sommet ne reposait pas, avec {n — 3) autres, sur l'un des n côtés du multilatère complet; mais toute droite menée de l'un des points aux (/i — 3) autres, coïncide avec l'un des côtés du multilatère ; on a donc seulement