PROPOSITIONS RELATIVES AUX SYSTÈMES HARMONIQUES

Ces deux propositions sont faciles à démontrer.

33. Il est maintenant aisé de reconnaître que trois éléments d'une forme fondamentale simple déterminent le quatrième harmonique, pourvu qu'on sache quel est celui des trois éléments donnés qui doit être séparé du quatrième.

En effet, si les éléments donnés sont trois points d'une droite, le quadrangle complet permet de trouver le quatrième point harmonique. S'il s'agit de rayons ou de plans d'un faisceau, on les coupe'parune droite et l'on cherche le quatrième point harmonique aux trois points d'intersection.

On obtient de la sorte le quatrième élément du faisceau harmonique, et le problème consistant à construire le quatrième harmonique à trois éléments d'une forme fondamentale simple se trouve ainsi résolu.

On peut encore arriver au faisceau harmonique de rayons de la manière suivante :

Etant donnés trois rajons a, c, rf, trouver le quatrième, har~ moniquement séparé de d.

Par un point M de la droite d on fait passer deux droites quelconques m, /Wj, qui coupent les rayons a et c en quatre points A, Ai et C, Cl. Le point B d'intersection des droites ACi et AiC est, comme le point commun aux rayons a, c, rf, sur le quatrième rayon harmonique cherché i.

mesurer sur le terrain la distance d'un point donné à un point inaccessible (voir Kotizie storiche suite frazioni continue, etc., par A!ITo:<io Fjlvabo. Roma, 1875, p. 72. — Bullettino di Bibliografia e di Sloria délie Sci'enze matematiche e fisiche, t. VU. Roma, 18741 p. 55o.)