I. — Relations métriques et graphiques. Cas particulier

3k. Les propriétés projectiles des Ggures sont les relations de ces figures qui subsistent dans toutes leurs projections. On les distingue en propriétés descriptives ou graphiques et propriétés métriques, selon qu'elles se rapportent à la disposition des figu^es (alignements de points, communes intersections de droites, etc.] ou aux relations de longueur et plus généralement de grandeur (*).

35. Deux points A etC [fig* 8), cquidistants d'un troisième point B, sur une droite, sont harmoniquement séparés par ce dernier et par le point D à l'infini; en d'autres termes, les quatre points A, B, C, D sont hanno' niques.

Prenons, en effet, sur la droite à l'infini d'un plan passant par ABC, deux points K et M, et joignons-les aux points A et C. Les droites de jonction

(*) Voir la lettre de Leidnitz à Hoïgens, 8 septembre 1679, dirers Mémoires d'EuLER, de Va!<dermokde, etc. (Recss, Repert. Comm., p. 33) et spécialement Poncblet, qui a introduit les expressions graphique et métrique ( Traité des propriétés projeotives des figures^ etc. Paris, 1822, n^* 6-7, et 1866, t. II, n" 107).

Desàbgues, Pascal, La Hire et Le Poivre ont fait usage des deux genres de relations des figures : des relations descriptives ou graphiques, en appliquant la perspective à la transformation des figures ; et des relations métriques, par l'emploi répété de la proportion harmonique, de la relation d*involution et de diverses autres propositions appartenant à la théorie des transTersales.

La Géométrie descriptive de Moncb repose sur une généralisation très-étendue de^ propriétés graphiques. La Géométrie de position de Carnot ne traite, au contraire, que des relations métriques. Les travaux de ces deux savants offrent de beaux exemples d'application des deux méthodes à la démonstration des mômes théorèmes. (Voir CaMLE»^ Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 31 1-2 1 3.)

PAISGEAirX HARHONIQUES DE RAVOMS ET DE PLANS.

se coupent en deux nouveaux points L, N, et la droite LN, comme seconde diagonale du parallélogramme ALCN, passe par le point milieu du segment AC. Dans lequadrangle KLMN, deux côtés opposés, KL et MN, se coupent

Fig. 8.

en A ; deux autres, LM et NK., en C ; la diagonale LN passe par B et la seconde diagonale, ou la droite à Tinfini KM, par D* Les quatre points A, B, C, D sont donc effectivement harmoniques.