II. — Formes projectives

41. Si deux formes fondamentales simples sont perspectivement rapportées à une troisième , elles sont aussi rapportées l'une à l'autre, sans cependant avoir, en général, une position perspective. On dit en ce cas que les deux formes fondamentales rapportées l'une à l'autre sont en position oblique. Cette position peut être déduite de la position perspective de la manière suivante :

On déplace, l'une par rapport à l'autre, les deux formes fondamentales perspectives, de telle sorte qu'elles perdent en général leur situation perspective, sans que la position relative des éléments de chacune d'elles subisse aucune altération.

Cette manière de rapporter les formes en position perspective, aussi bien que les formes en position oblique, diffère de toute autre en ce que, si l'on considère isolément quatre éléments harmoniques quelconques de l'une des deux formes, les éléments correspondants dans l'autre sont aussi harmoniques. Les projections ou les sections de systèmes harmoniques sont en effet de nouveaux systèmes harmoniques.

Nous sommes ainsi conduits à établir la définition suivante :

Deux formes fondamentales sont dites projectivement liées entre elles, ou plus simplement projecùves (*), quand elles sont

(') Cbasles {Traité if e Géométrie supérieure. Paris, iSSa, p. 67) et Paclos (Grund- Hnien der neueren Géométrie^ etc. Stuttgart, i853, p. ai) ont respectivement appelé ces formes homograpkiques et conformes au lieu de projectives, Staudt indique la condition de projectivite en plaçant le signe ^ entre les formes auxquelles cette condition s'applique. Certains autres auteurs (Pfaff par exemple, Neuere Géométrie, I Theil. Erlangen, 1867, p. i'i)>nt adopté la lettre ir. L'usage de celte lettre comme iigne n'est pas noureau en Mathématiques (voir, en effet, Fribdlein, Die ZahUeichen und dos eiementare Rechnen der Griechen und Rômer und des christUchen AhendUtndes vom 7 ^if i3 Jahrhundert, Erlangen, 1869, p. i3). II est probable, toutefois, que la substitution de la lettre -x au signe "}{ ne doit être attribuée, dans le cas actuel, qu'à une commodité typographique.

4a GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE VI.

rapportées l'une à l'autre de telle manière que quatre cléments harmoniques de l'une correspondent à quatre éléments harmonie ques de l ^ autre.

Si, de plusieurs formes géométriques, la seconde est projective à la première et chacune des autres à celle qui la précède, deux quelconques de ces formes sont projectives entre elles.

Deux formes géométriques perspectives sont aussi projectives, mais deux formes projectives ne sont pas en général perspectives.