AD . /\ CD

SD sin ad SD sin cd

ûnab fmcb AB CB

/\ ' /\"" AD * CD %in ad smca

Chacun des termes de cette proportion, pris isolément, constitue un rap-

5i GÉOMÉTRIB DE POSITION. — APPENDICE AU CHAPITRE VI.

CB port ; par exemple, ~ est le rapport des deux segments résultant de la

.... , ^.^ 1 ^ sin c6 . , .

division du segment BD par le point C, et — — est le rapport des sinus

sin cd

des deux angles résultant de Li division de l'angle bd par le rayon c. Les deux membres de l'équation ( i ) représentent donc le rapjiort de deux rapports, ou un double rapport, ou encore, suivant la dénomination généralement adoptée, un rapport anhamionique (* ). Il est facile de reconnaître le mode de formation des rapports anharmoniques considérés. Par exemple, celui

( ' } Bien qu'un auteur ( Die Elemente der Mathematik^ yon D' Richard Balt7.er, II Band. Dritte Auflag^». Leipzif^, 1870, p. 365) ait écrit que les rapports anharmoniques ont été étudiés pour la première fois par Môbios {^Der harycentrische Calcul^ etc. LeipEig, 1827, p. 2^|4 et suiy.), on est fondé à affirmer que les traces en remontent à Ecclide. Chasles, en effet, en étudiant les lenimcs de Pappcs {yfpercu historique sur rorigine et le développement des méthodes en Géométrie^ etc. Bruxelles, 1837, p. 34, 3oa. — Traité de Géométrie supérieure. Paris, i852, p. xxi. — Les trois livres des porismrs d'Euclide rétedflis pour la première fois, d 'après la notice et les lemmes de PappuSy et conformément au sentiment de i?. Simpson sur la forme des énoncés de ces propo~ sitions. Paris, 1860, p. 11, i'|, 82, 85. — Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, HDCCCLXX, p. s^o)» a signalé une proposition qui avait échappé aux investigations antérieures et qui contient la propriété projective du rapport anharmonique de quatre points. Cette propriété est démontrée en six lemmes différents (III, X, XI, XJV, XYI et XIX), et Pappus en a fait usa;;e pour la démonstration de plusieurs autres lemmes. Ces circonstances ont autorisé Chasleb à penser que les propositions d'EccLiOE étaient de celles auxquelles conduisent naturellement les développements et les applications de la notion du rapport anharmonique. Parmi ces développements se présente en première ligne la théorie des divisions homographiques (ponctuelles projectives ) formées sur deux droites ou sur une seule.

Voir à ce propos une Note très-intéressante de Cantor : Ueber die Porismen des Euclid und deren Divinatoren, dans la Zeitschrift fur Mathematik und Phjsik, t. II, p. 17-27. Du reste, avant MÔsios, Desargcbs {OEuvres réunies et publiées par M. Poudra. Paris, 1864, t. I, p. 42S) et Briancbon {^Mémoire sur les lignes du second ordre, Paris, 1817, p. 7) ont démontré la proposition fondamentale de cette théorie. La dénomination de rapport anharmonique^ introduite par Cbasles {op, cit.), d'après la signification du vocable ii», est en réalité assez impropre, puisque quatre éléments deviennent harmoniques pour une valeur particulière de leur rapport anharmonique; nous la conserverons cependant, parce qu'on peut la considérer comme généralement acceptée désormais par les géomètres modernes. MOatrs {op, cit.) avait appliqué à la même relation le nom de Doppelschnittsverhàltniss, auquel il substitua plus tard Tabréviation Doppelverhàliniss Théorie der [Kreisverweuidtschaft {Abhond-^ lungen d, k, s. Gesellschaft der ff^issenschaften, t. IV, p. 546)]. Voir les Berichte de la Section physico-mathématique de la même Société, i853, p. i5. Stbisur adopta cette seconde dénomination {Systematische Entwickelung, etc. Berlin, i832, p. 7), que Ton trouve encore dans les écrits de plusieurs géomètres allemands modernea.