RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES ANGLES ET LES SEGMENTS

lie droite, qui existe entre les segments limites par les points A, B, C,D, s'obtient en divisant l'un par l'autre les rapports suivant lesquels le segment BD, limité par deux de ces points, est divisé par chacun des deux autres. L'autre rapport an harmonique, existint entre les sinus, s'obtiendrait d'une manière analogue. On voit encore, d'après la marche suivie pour la déduction de notre équation, qu'il est indifférent de prendre certains segments et certains angles plutôt que certûns autres, puisque les rapports anharmoniques sont toujours formés de la même manière. Un autre choix des quatre triangles aurait, en effet, conduit à l'équation suivante :

sîn aU sin hd AD BD

. y^ . / N AC BC sinac sin oc

II serait facile de déduire d'autres équations semblables, pour les mêmes points et ix)ur les mêmes rayons ( ^ j .

SI. Il convient d'observer que l'équation ( i ] subsiste quand on transporte la ponctuelle u dans une autre position oblique quelconque, par rapport au faisceau de rayons. Toute autre droite Ui, coupant en Ai, B|, C|, Di, respectivement, les rayons a, /^, c, d^ fournit des segments qui donnent lieu à une équation analogue à ( i ]

sxnnh'^ smch AtB, C,B,

T^ "• T^\ ^ a7d; ' cTdT

sin ad sin cd

(*) Quatre points ABCD en ligne droite déterminent yingt-^uatre rapports anharmoniques, parmi lesquels, toutefois, six seulement diffèrent les uns des autres. Si l'on en représente un, par exemple (ABCD), par «, on a :

(ABCD) = (BADC) = (CDAB;=(DCBA)=a,

CACBB) = (CABD)^(DBAC)^(BDCA)=^ -»

(ADBC) =(DACB) =^ (BCAD) = (CBDA) ^

(ABDG) = (BACD) = (DCAB) = (CDBA) = -, (AGBD ) =^ (CADB) = (BDAC) = (DBCA ) = i - a, (ADGB) = (DABC) =. (CBAD) = (BCDA) = — - •

oc — " I

Il suit de là que, si l'un des six rapports anharmoniques est donné, les cinq autres sont déterminés. Cremona nomme les trois premiers rapports fondamentaux et les trois autres réciproques. Pour la déduction du système équiharmoniquef Toir Camo.'iA, Ifitroduzione aduna teoria grometrica deîle eurve piane, Bologna, i86a, n®" 26, 27.

Pareillement, les points A, B, C, D sont projetés de toat point Si, diflërcnl de S, par quatre rayons Ai, ^i, Cf, £^1, tels qu'on ait

. sin^f 6, sinr,6, AB CB

'^ . y^ ' T^ >■" AD cd'

Un rapport an/tarmonique de la forme précédente,- entre quatre éléments d'une ponctuelle ou d'un faisceau, ne subit aucune altération dans sa valeur quand ces éléments sont remplacés par les éléments correspondants d'une ponctuelle perspectipe ou d'un faisceau perspectif

n. — Propriété du rapport anharmonique.

52. Nous pouvons considérer deux formes fondamentales simples, prujectives , comme premier et dernier terme (47) d'une série de formes, telles que chacune est perspective à la suivante; il s*ensuit que :

Si deux formes fondamentales sont projectives, le rapport anharmonique entre quatre éléments quelconques de l'une est égal au rapport anhamio^ nique entre les quatre éléments correspondants de l'autre.

Réciproquement :

Pour que deux formes fondamentales simples soient projectives, il faut et il suffit que quatre éléments de la première, pris à volonté, et les quatre éléments correspondants de la seconde, aient le même rapport anharmonique.

Soient en effet u et Ux deux ponctuelles projectives, et soient A, B, C, D les points de u qui correspondent respectivement aux points Ai, Bi, Ci, D| de «1. On a, entre les segments limités par ces points, la proportion

,,, AB CB AiBi C,Bi

^' AD CD AiDj C,Di

Cette proposition est évidemment vraie pour les faisceaux de plans. Les angles formés par les éléments de ces faisceaux ont, en effet, leurs mesures dans un faisceau de rayons, situé dans un plan perpendiculaire à Taxe du faisceau de plans, perspectif à ce dernier faisceau et par suite projectif à toute forme fondamentale qui est elle-même projective au faisceau de plans.

En revenant sur ce qui a été précédemment exposé au sujet des relations métriques dans les systèmes harmoniques (37), on reconnaît facilement