DC
par suite
DiA, BA D,Ci
dâ""b7c"/
ou bien
(i) AB.CtBi — AD.CjDj.
Si donc on maintient Gxe un couple , DDi, pendant qu*on fait varier Tautre, BBi, le rectangle
AB. CiBj reste constant.
Ainsi les points A et Ci , déterminés sur les ponctuelles projectives, placées en position perspective, par les rayons du faisceau projetant qui leur sont mutuellement parallèles, permettent d'embrasser le système entier des points correspondants, au moyen d'une relation beaucoup plus simple que celle qui dépend de Tégalité des rapports anharmoniques, et nous pouvons conclure que :
Dans deux ponctuelles projectives, les distances de deux points corres^ pondants quelconques aux points correspondants des points à l'infini forment un rectangle constante
Quelques auteurs donnent à ce rectangle constant le nom de puissance de la relation projectile.
On déduit de ( i ] la proportion
AB C, Dj 5j^ — ^» ^t
AD — C^i; ^^ ÂD ~~ (VB^ *
PROPRIÉTÉ DU RAPPORT ANHARMONIQUE. 5y
En ajoutant Tunité de part et d'autre, on a
B,bi ""BiCi~"DiC,'
Ce résultat met en évidence une particularité remarquable des couples de points coirespondants, h savoir (ju'o/2 peut déterminer sur une ponctuelle des couples de points B, D, tels que leur distance soit égale a celle des points correspondants Bj, Ci; on, plus brièvement, qu'on peut déterminer des segments correspondants égaux sur les lieux des deux ponctuelles. En effet, pour que
BDrr-BiDi,
il suffit qu'on ait
AB — DiC et par suite aussi
AD zzz BiCi;
c'est-à-dire que, si Ton porte du point A sur le premier lieu un segment AB de grandeur arbitraire, du point Ci sur le second lieu un segment CiDi = AB, et si Ton détermine les points Bi et D qui correspondent à B et à Di, on a
BDrrBiDj.
La grandeur du segment AB étant arbitraire, aussi bien que sa direction, on peut déterminer ainsi, sur les deux ponctuelles projectives, un double système de segments correspondants égaux.
Si, par exemple, nous portons de part et d'autre du point A {/ig- 20] sur la ]K)nctuelle k, un segment de longueur quelconque, FA = AG, si nous portons le même segment sur Ui, de part et d'autre de C|, de telle sorte que
HiCi = CiK] "^^ FA = AG,
et si nous déterminons les quatre points correspondants Fi, Gj, H, K, nous aurons, non-seulement
FH — FiH, et GKr^GiKj, mais encore
GH — BjGi et FK = KiFi.
En effet, Ci étant le milieu de Hi Ki et A| étant à l'infini, les quatre points Hi, Cl, Kl, Al sont harmoniques (35); dès lors HCRA est aussi un système harmonique; et comme le point C est à l'infini, le point A est au milieu
de HK. Pour le même motif, Ci est au milieu dcPiGi, et nous ayons
HF
GK
FA
AG
HG
et de même
KF
En faisant varier la longueur AF, qui a été prise arbitrairement, nous
Fiç. 90.
obtiendrions le double système complet de segments correspondants égaux. Concluons donc que :
Deux ponctuelles projectlves contiennent deux systèmes de couples de segments correspondants égaux. Les couples de l'un des systèmes ont leurs deux extrémités sur les mêmes moitiés correspondantes des deux lieux, et ne comprennent pas, par conséquent, les points k. et Ci. Les couples de l'autre système ont au contraire leurs deux extrémités sur les moitiés opposées des deux lieux, et comprennent par conséquent les points A et Ci. Tout point de l'une des ponctuelles représente une extrémité commune à deux couples de segments correspondants égaux, qui appartiennent respectif vement à chacun des deux systèmes.
m. ~ Ponctnelles égales et semblables.
55. Deux ponctuelles projectives sont dites égales quand on peut les superposer, de telle sorte que chaque point coïncide avec son correspondant.
De l'égalité des rappoj'ts anharmoniques on déduit que deux ponc'
