DE PLANS DU SECOND ORDRE

trois éléments unis et seraient identiques [h^)i ce qui est impossible, puisque les ponctuelles considérées ne sont pas perspectives.

Les droites de jonction descouples de points correspondants constituent un système continu de droites ( 4-7 ), auquel on donne le nom àe faisceau de rayons et, dansTespèce, à raison de la propriété qui vient d'être démontrée, le nom de faisceau de rayons du second ordre (').

Disons tout de suite, sous réserve d'en fournir la démonstration en son temps, que les courbes du second ordre sont identiques aux sections coniques et que tout faisceau de rayons du second ordre est composé de l'ensemble des tangentes menées à une section conique.

n. — Surface conique et faisceau de plans du second ordre.

63. En projetant d'un point quelconque, pris en dehors de leur plan, les figures qui expriment les deux propositions précédentes, on est immédiatement conduit à ces deux autres propositions :

Si deux faisceaux de plans ^ dont les axes se coupent^ sont projectifs sans ^tre perspectifs, toutes les droites

Si deux faisceaux de rayons, dont les plans se coupent, sont concentriques et projectifs sans être per-

(') Dana la seconde édition de son ouvrage {Die Géométrie der Lage, Zweite vermehrte AuOage. Hannover, 1877, p. 55), Rete emploie indiflërenimcnt les deux expressions : Curve zweiter Ordnunff {courbe du second ordre) et Punktreihe zweiter Ordnung (ponctuelle du second ordre). Cette dernière dénomination a l'avantage do roppeler que la courbe du second ordre doit être considérée comme un système de points, el de mettre en évidence la correspondance de dualité qui existe, dans le plan, entre les courbes du second ordre et les faisceaux de rayons du même ordre. Nous avons cru, toutefois, devoir nous en tenir & l'ancienne dénomination, nonseulement parce que Tusage l'a consacrée, mais encore parce qu'elle fait mieux saisir Tidentité des courbes du second ordre et des sections coniques.

(') Les faisceaux ordinaires de rayons, formes fondamentales simples, sont encore appelés, pour les distinguer des précédents, faisceaux de ra)^ons du premier ordre. De même pour les faisceaux de plans.

d'intersection des plans correspond fiants forment une surface conique du second ordre, qui n'a jamais plus de deux de ces droites d'intersection communes apec un plan.

Le point d'intersectio:. des axes, par lequel passent tons les rayons de la surface conique, est nommé centre de la surface conique [^),

spectifs^ tous les plans de jonction des rayons correspondants forment un faisceau de plans du second ordre, qui n'a jamais plus de deux plans communs avec un faisceau de plans du premier ordre.

Le centre des faisceaux de rayons, par lequel passent tous les plans du faisceau du second ordre, est nommé centre du faisceau de plans.

De là cette double conséquence :

Toute courbe et tout faisceau de rayons du second ordre sont projetés, d'un point non situé dans leur plan, respectivement par une surf aceconique et par un faisceau de plans du second ordre.

Toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont coupés, par un plan ne passant pas par leur centre, respectivement suivant une courbe et suivant un fais^ ceau de rayons du second ordre.

On voit par là avec quelle facilité les résultats obtenus pour les formes planes du second ordre peuvent être étendus, au moyen de projections, aux formes correspondantes dans la gerbe.

IIL — Lieux des formes génératrices. Tangente. Point de contact.

Corollaire.

Qk, La courbe du second ordre h [flg* a I ) qui est engendrée au moyen de deux faisceaux projectifs de rayons, S et Sx, passe par les points S et Si, centres des faisceaux.

En effet, les faisceaux ne devant pas être perspectifs, au rayon SS| ou pdvi fiiisceau S, c'est-4-dire à la droite qui joint les centres, correspond, dans le faisceau Si, un rayon quel-

le faisceau de rayons du second ordre K [fi g, 22) qui est engendré au moyen de deux ponctuelles pro-' jectives, uet w,, contient les droites, u et Uif lieux des ponctuelles.

En effet, les ponctuelles ne devant pas être perspectives, au point iiifi ou P de la ponctuelle u, c'est-à-dire au point d'intersection des ponctuel* les, correspond, dans la ponctuelle

(■) La dénomination est de Biot. (Voir Stbisbr, Systemadsche Entwickelung, Berlin« i833, p. i3o.}

LIEUX DES POttUBS GENEBATBICE8.

conque/),, diflërentde S,S. Lepoint S| d'intersection de p et de />, appartient donc à la courbe *. Il eo est de même du point S.

Fis- »i.

Pi est le seul rayon pnssant par S, qui ait un seul point, S,, commun iivec la courbe k. Tout.iutre rayon ir, du faisceau S, est coupe par snn correspondant (I, dilTcrent de p, en un second [*>inl A de la courbe, différent du point Si- Nous dirons pour ce motif que le rayon ^, touche la courbe k. ou qu'il est tangent Scelle courbe au point S,.

POINT t»R CONTACT. GOROLLAIRE. 65

»,, un (Mint quelconque P,, difri-rent de UH,. La droite u,, qui joint PP,, appartient donc au faisceau R. Il en e&t de mâme de la droite u.

Pi est le seul point de n, par lequel passe un seul rayon, k,, du faisceau K. Tout autre |ioint A, de la ponctuelle u, est joint à sou correspondant A, durèrent de P, par un second rayon a, différent de «,. Nous dirons jwurcc motif que P| est un point de contact du faisceau K.

Nous pouvons donc établir les propositions suivantes :

Ja point d'intersection de deux ponetaeltes projectivc! correspond, lur chacune d'elles, un point de contact du faisceau du second ord/v au moyen duquel les ponctuelles proposées se projettent réciproquement.

Au rayon commun de deu.r faiscenujc projecti/s de rayons correspond, dans chacun d'eu.r, une tangente à la courbe du second ordre suivant laquelle se coupent lesfiiis~ reaux proposés.

66 GEOMbTRIE DE POSITION,

6S. Vrte courbe du second ordre est projetée de deuj; quelconques de ses points par deux faisceaux projecli/s de rayons.