ACB = ACT

ÏCB

= I QCT -h \ TCPi = { QCP,.

Quand la droite u^ se meut entre les deux tangentes « et «1, les rayons CA, CB engendrent deux faisceaux projectifs (60) ; les points A, B engendrent donc deux ponctuelles projectives.

L'angle ACB étant, comme on vient de le démontrer, égal à \ QCPi, égal

par conséquent à QCQi et à PCPi, il s'ensuit que les points Q et Qi, P et Pi sont correspondants dans les deux ponctuelles projectives, c'est-à-dire qu'à un point commun des ponctueUes correspondent les points de contact des tangentes fixes.

Si nous imaginons maintenant que la tangente se mette en mouvement autour du cercle, les points A et B engendreront sur « et u^ deux ponctuelles projectives; lorsque u, s'approchera de u jusqu'à coïncider avec cette droite, le point B ira s'approchant de plus en plus de Qi jusqu'à coïncider avec ce point; le point A viendra de même coïncider avec le point correspondant de Qj, c'est-à-dire avec le point de contact de u. On est ainsi conduit à considérer le point de contact d'une tangente comme son point d'intersection avec la tangente infiniment voisine.

76. Si quatre points A, B, C, D d'un cercle sont projetés d'un cinquième point S par quatre rayons harmoniques, les rayons qui projettent les points A, B, C, D de tout autre point du cercle forment aussi un système harmonique. Le système constitué par la tangente en A et par les cordes AB, AC, AD est donc harmonique. On dit^ en ce cas^ que les quatre points A^ B, C> D sont harmoniques.

Si quatre tangentes a, 6, c, dli un cercle sont coupées par une cinquième tangente u en quatre points harmo> niques, les intersections de <i, ^, r, dy avec toute autre tangente au cercle forment aussi un système harmonique. Le système constitué par le point de contact de a et par les points d'intersection ab^ ac, ad est donc harmonique. On dit, en ce cas, que les quatre tangentes a, hy c, d sont harmoniques.

77. Soient A, B, C, . . . , X autant de points du cercle qu'on voudra et a^ by Cy . . . , j: les tangentes en ces points. Les rayons qui projettent du centre du cercle les points Ai, Bi, Ci, ... d'intersection de .r avec <?, ^, f, ... sont respectivement perpendiculaires aux cordes XA, XB, XC, ... et forment par conséquent (60) un faisceau égal à celui qui projette de X les points A, B, C, .... U en résulte que ce dernier faisceau et la ponctuelle formée sur x par les points d'intersection sont projectifs; en d'autres termes :

La ponctuelle déterminée par plusieurs tangentes au cercle sur l'une d'elles est projective au faisceau des rayons qui projettent, d'un point quelconque du même cercle, les points de contact de ces tangentes.

Il suit de là que : Si quatre points d'un cercle sont harmoniques, les tangentes en ces points sont aussi harmoniques, et réciproquement.

CONCEPTION DE LA TANGENTE ET DU POINT DE CONTACT. y^