CHAPITRE IX
DITER8E8 ESPÈCES DE COUBBES DU SECOD OBDBB (<).
PoNCELBT, Traité des propriétés projectiles ^ etc. Paris, i8a3, n® 112-115. — Steiseb, Systematische Entwickelung, etc. Berlin, i832, § 36-4o. — Zecs, Die hôhere Géométrie, e%c, Stuttgart, 1857, S 4» ~" CaEMONA, Introduzione ad una teoria geometrica délie curvepiane. Bologna, 1863, Art. XI. — Retb, Die Géométrie der Loge. Hannover, 1866, p. 74-76. — Steiiiee, yorlesungen Uber sjrnthetische Géométrie, Leipzig, 1867, II Theil, S 25-36. — Stacdigl, Lehrbuch der neueren Géométrie, Wien, 1870, p. io.'|-ii/|. — Fiedlee, Die darstellende Géométrie, etc., Leipzig, 1871, § î'^-aô. — Mcller, Leitfaden der ebenen Géométrie, etc., Leipzig, 1875, IV Cursus. — Hakkel, Die Elemente der projectivischen Géométrie, Leipzig, 1875, YI Abschn. § 3, 10.
I. — Distinction basée sur les éléments communs à la coorbe et à la droite à Tinfini de son plan.
95. On a vu (62) qu'une courbe du second ordre ne peut jamais avoir plus de deux points communs avec une droite. Nous allons déduire de cette propriété d'importantes conséquences
(*) Les sections des divers cônes de rotation, faites au moyen d'un plan perpendiculaire à un côté, furent étudiées et classées par Menecume, peu de temps après PLATO?{(voir Reimer, Hist. dup, cuhi, p. 58). On n'a pas conservé les écrits d'AmsTÉs et d'EccLiDE sur les coniques. Arcbimêdb connaissait ces courbes comme sections des cônes de rotation et l'on trouve dans ses écrits les noms A^ellipse et à'hjrperMe {Con, et sph., p. 8 et suiv.). Voir à ce sujet les éclaircissements donnés par Proclus {Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentaria, éd. Barocics. Patavii, i56o, p. 364) ^^ ^^ appréciations diflërentes de Cantor {Euclid und sein Jahrhunde'rt, Leipzig, 1867, P* 49) ^^ ^^ HAiiEEL(Zifr Geschichte der Mathematikin Aller^' thum und Mittelalter, Leipzig, 1874» p. 9g).
Apollotiius a démontré que les coniques sont des sections de tout cône sur lequel on peut placer un cercle et les a désignées sous le nom qu'elles portent encore aujourd'hui (Conica I). (Voir Die Elemente der Mathematik von D' Richard Baltzer, zweiter Rand, dritte Auflagc, Leipzig, 1870, p. 157. — Chaslcs, Aperçu historique, etc., Bruxelles, 1837, p. 17 et 539-53o).
DISTINCTION BASÉE SUR LES SECTIONS PLANES D'uNE SURFACE CONIQUE. gS
relatives au nombre de points qui peuvent être communs à une telle courbe et a la droite à Finfini du plan dans lequel elle se trouve. Trois cas peuvent se présenter : il n'y a pas de points communs, ou il y a un seul point commun, ou enfin il y a deux points communs.
Dans le premier cas, tous les points de la courbe sont des points propres et toutes ses tangentes sont des rayons propres du plan ; la courbe prend alors le nom à^ ellipse.
Dans le deuxième cas, la courbe s'étend à l'infini suivant deux rameaux qui tendent vers le point où elle touche la droite à l'infini ; elle prend alors le nom de parabole.
Dans le troisième cas, la courbe est formée de deux branches courbes, dont les doubles rameaux s'étendent vers les deux points à l'infini qui sont les points de jonction des deux branches entre elles ; la courbe prend alors le nom A^ hyperbole.
L'hyperbole étant coupée par la droite à l'infini du plan, toutes ses tangentes sont des droites propres du plan. Tel est, en particulier, le cas des tangentes aux deux points à l'infini de la courbe ; ces tangentes prennent le nom à^ asymptotes.
n. — Distinction basée sur les sections planes d'une surface coniqne.
96. Nous pouvons encore obtenir les mêmes formes de courbes du second ordre en pratiquant des sections planes dans une surface conique quelconque du second ordre, dont le centre n'est pas situé à l'infini.
Un plan Z, passant par le centre, n'a que ce point commun avec la surface conique, ou bien il touche cette surface suivant un rayon s, ou bien enfin il la coupe suivant deux rayons^ et q.
Dans le premier cas, tout plan £|, parallèle à Z, rencontre tous les rayons de la surface conique en des points propres et coupe la surface conique elle-même suivant une ellipse.
Dans le deuxième cas, la courbe d'intersection est une parabole, puisque le rayon s, parallèle à Et; est coupé par ce plan en un point à l'infini ; la droite d'intersection de Si avec le plan tangent X est précisément la tangente à l'infini de la parabole.
Dans le troisième et dernier cas, la courbe d'intersection est
une hyperbole, puisque les rayons p et q sont coupés par le plan Zi en leurs points à l'infini. Les plans tangents à la surface conique en p et q sont coupés par Si suivant les asymptotes de rhyperbole et cette courbe se compose de deux branches, puisque les deux moitiés de la surface conique sont coupées par Sf Nous pouvons concevoir l'hyperbole, aussi bien que toute autre courbe •du second ordre, comme une courbe fermée rentrant en elle-même, car toute surface conique au moyen de laquelle elle se projette est une surface fermée rentrant en elle-même.
III. — Couples d'éléments parallèles dans les faisceaux générateurs.
Cas particuliers.
97. Étant donnés, en général, deux faisceaux projectifs de rayons, S et Si, imaginons que le premier reste fixe, pendant que le second, sans tourner autour de son propre centre, se transporte parallèlement à lui-même jusqu'à ce que le point Si vienne coïncider avec le point S (ou, ce qui revient au même, menons par le point S des parallèles à tous les rayons du faisceau Si). Nous obtenons ainsi en S deux faisceaux de rayons concentriques et projectifs qui peuvent donner lieu aux trois cas suivants : les deux faisceaux n'ont aucun élément uni, ou ils en ont im, ou ils en ont deux. Nous ne considérons pas le cas où le nombre des éléments unis serait supérieur à deux, parce que, comme on l'a vu (43), les deux faisceaux seraient alors identiques.
Supposons maintenant que le faisceau Si soit de nouveau déplacé parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu'il ait repris sa position primitive; les rayons unis singuliers deviendront alors des couples de rayons parallèles entre eux et, selon que le nombre de rayons de cette sorte sera zéro, un ou deux, la courbe du second ordre engendrée par les faisceaux projectifs de rayons sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
98. Il convient d'observer que le lieu du second ordre, engendré par deux faisceaux projectifs de rayons, peut encore se résoudre :
I® En deux droites distinctes, si les faisceaux sont perspectifs et non concentriques (les deux droites sont ; le rayon correspondant
COURBE DONNÉE PAR DEUX PONCTUELLES PROJECTIVES. qS
commun et la droite sur laquelle se coupent les couples de rayons correspondants), ou en deux rayons unis, si les faisceaux sont concentriques ; ,
2° En deux droites coïncidentes, si les faisceaux sont conceniriques et ont un seul rayon uni.
