IV. — Courbe donnée par deux ponctuelles projectives

99. Les recherches présentent plus de difficulté lorsque la courbe est donnée par des tangentes ou par deux ponctuelles projectives qui engendrent le faisceau enveloppant du second ordre.

La courbe du second ordre déterminée par deux ponctuelles projectives peut être une ellipse ou une hyperbole, mais ne peut pas, en général, être une parabole. La parabole ayant, en effet, un seul point à distance inGnie, la droite à Tinfini, qui n^a qu^un point commun avec la courbe, doit être un rayon de projection ou une tangente de celle-ci. Deux autres tangentes quelconques, considérées comme lieux de deux ponctuelles génératrices, seront rencontrées par la droite à Tinfini en leurs points à T infini, qui devront dès lors être correspondants. Mais deux ponctuelles dont les points à l'infini se correspondent sont nécessairement projectives semblables (S7). Donc une parabole ne peut être engendrée que par deux ponctuelles projectives semblables, lesquelles, toutefois, ne doivent pas être perspectives ; et ^vice ^ersd : Deux tangentes quelconques à une parabole sont rencontrées par toutes les autres suivant deux ponctuelles projectiles semblables. A fortiori, deux ponctuelles projectives égales (55-56), mais non perspectives, engendrent toujours une parabole.

I^ droite à Tinfini étant tangente à la parabole, il ne passe par' chaque point à Tinfini du plan qu^une seule tangente à la parabole en un point propre. Toutes les tangentes situées à distance finie se coupent donc en des points qui sont eux-mêmes à distance finie ; en d'autres termes, la parabole na aucun couple de tangentes parallèles.

Deux ponctuelles projectives quelconques, non semblables, engendrent une ellipse ou une hyperbole, selon la position de leurs points correspondants.

Pour distinguer les diverses espèces de courbes du second ordre,

g6 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE IX.

considérées comme engendrées par deux faisceaux projecllfs de rayons, nous avons été conduits (97) à rechercher si ces faisceaux avaient ou n^avaient pas des rayons parallèles.

Le cas de la génération par deux ponctuelles projectives ne comporte pas une solution aussi directe. En effet, la distinction des courbes du second ordre en ellipse, parabole et hyperbole, repose essentiellement sur les propriétés qui apparaissent lorsque, prenant ces courbes comme formes de points, on considère leurs intersections avec la droite à l'infini. Pour maintenir ici la même distinction, il faut considérer la courbe tout à la fois comme ibrme de points et comme forme de tangentes. Avant d'aller plus loin, et pour justifier cette remarque, nous devons faire observer qu'il n'est pas possible de classer les courbes du second ordre en se fondant sur une relation de dualité. Aucun point du plan ne possède, en effet, à l'exclusion des autres, des propriétés aussi caractéristiques que celles qui distinguent la droite à l'infini des autres droites du plan.

Le faisceau de rayons du second ordre enveloppe une ellipse, lorsque les points de contact situés sur ses éléments sont tous à distance finie. Le faisceau enveloppe une hyperbole, lorsque deux de ses rayons ont leurs points de contact respectifs sur la droite à l'infini.

Il nous reste à dire comment ces conditions peuvent être vérifiées immédiatement, d'après la position des deux ponctuelles projectives.

Représentons par u et M| les lieux de ces ponctuelles, par J le point de u qui correspond au point à l'infini de U| et par I| le point de Mi qui correspond au point à l'infini de u. Les parallèles 1^1 et V, menées par les points J et I|, respectivement, aux droites M| et M, seront tangentes à la courbe, et les quatre droites u, u^ , Vy V\j formeront un parallélogramme circonscrit. Mais on aurait pu remplacer u ou u^ par toute autre tangente à la courbe; d'où il suit que, dans l'ellipse comme dans Vhyperbole, les tangentes sont parallèles deux à deux.

Si les lieux des deux ponctuelles génératrices sont parallèles et se coupent conséquemment à l'infini, et si l'on représente par J et Ii les points qui correspondent à leur intersection, considérée successivement comme un point de u et comme un point de U|, il