CONSTRUCTION DU POLE ET DE LA POLAIRE. PROPRIETES DIVERSES. I

de concours des côtés opposés et les points R, S de concours des tangentes aux sommets opposés sont situés sur une même droite u.

lions, dans les œuvres de Desargces {Œuvres réunies et publiées par M. Poudra. Paris, iS64t t. I, p. i6/|, i86, 190 et suiv.) et dans celles de La Hire {Sectiones conicar, Parisiis, i685, I, 3i-a8; II, 33-3o.). Il convient de rappeler toutefois, en remontant aux origines, qu'on doit à Apollonids le célèbre théorème que La Hire a pris pour fondement de sa théorie des coniques et qui s'énonce ainsi : « Si, par le point de concours de deux tangentes à une section conique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en deux points et la corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième point, ce troisième point et le point de concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. » (!.iv. III, Prop. 37). Ainsi que nous l'avons déjà remarqué, on ne doit pas considérer comme dépourvue de fondement l'opinion suivant laquelle le Traité complet des coniques de Pascal aurait contenu une théorie complète des pôles et des polaires. (Voir Chaslbs, aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 19, 71, i33. — Des- BOVESy Étude sur Pascal et les géomètres contemporains ^ Paris, 1878, p. 47«)

Monge {Géométrie descriptive, Paris, 1795, n<* 40) avait démontré que, quand le sommet d'un cône circonscrit à une surface du second ordre parcourt un plan, le plan de la courbe de contact passe toujours par un même point; et que, quand le sommet du cône parcourt une droite, le plan de contact passe toujours par une seconde droite. Livet et Briancbon ont démontré ensuite que, quand le sommet du cône parcourt une surface du second ordre, le plan de contact enveloppe une autre surface du second ordre (XIII" Cahier du Journal de l* École Polytechnique, x8o6). Dans le même Mémoire, Briancho!! a fait usage de cette théorie pour déduire du théorème de Pascal son théorème non moins élégant et non moins fécond. C'est la première application qui ait été faite des polaires, et la dualité des figures planes s'y présente sous une forme remarquable. Encotktrb et de Stamvillb se sont servis plus tard de la même théorie pour opérer une véritable transformation des figures. 11 s'agissait de circonscrire à une conique un polygone dont les sommets fussent situés sur des droites. Ces géomètres ont observé qu'en vertu de la théorie des polaires le problème pouvait être ramené à cet autre, qu'on savait déjà résoudre : inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par des points donnés. (Voir Annales de Mtuhématiques, t. I, p. 122 et 190. — Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, Note XI.)

On trouve pour la première fois, dans les Annales de Mathématiques, les dénominations de pèles, plans polaires et droites poltùres, qui ont facilité l'usage de cette théorie.

Sekvois appela pôle d'une droite le point par lequel passent toutes les droites de contact des angles qui sont circonscrits à une conique et qui ont leurs sommets sur la droite. Gebgonxe appela ensuite cette droite la polaire du point et étendit aux cas de l'espace ces dénominations, qui furent bientôt adoptées par tous les géomètres (voir Annales de Mathématiques, t. I, p. 337; ^* '''> P* ^97)*

Ajoutons enfin que Poncelet a tiré de la théorie des pôles et des polaires la théorie des figures polaires réciproques, qui est, en substance, la loi de dualité, appelée par lui principe de réciprocité polaire. Tous les écrits de Pomcelet sur cette question ont été réunis dans les deux volumes du Traité des propriétés projectives des figures. Paris, i8G5-i866.

Si Ton désigne par V et W les points d'intersection de la droite u respectivement avec AC et BD, on reconnaît facilement que V est harmoniquement séparé de U par les points A et C. En effet, dans le quadrangle PBQD, les côtés opposés se coupent deux à deux respectivement en A et C, la diagonale BD passe au point U et la diagonale PQ au point V. De même, U et W sont harmoniquement séparés par B et D.

On déterminera encore la droite u en faisant passer par U une sécante AC, en cherchant sur cette sécante le point V harmoniquement séparé de U par les points A, C de la courbe et en joignant le point V au point R d'intersection des tangentes en A et C. Et comme la seconde sécante passe aussi par U, on aura toujours les points suivants sur la droite u, déjà déterminée par la première sécante :

I** Les points d'intersection P et Q des côtés opposés du quadrangle ABCD ;

2° Le point d'intersection S des deux tangentes en B et D;

3° Le point W, harmoniquement séparé de U par les points BetD.

Le point U prend le nom de pôle de la droite u ainsi déterminée, et, vice versa, la droite u est appelée polaire du point U.

Nous conclurons donc, d'une manière générale, que la polaire d'un point donné U, par rapport à une courbe du second ordre ^ est en même temps le lieu :

1° Des points de concours des couples de côtés opposés de tout quadrangle inscrit dont les diagonales passent par le pôle.

2** Des points de concours des couples de tangentes dont les points de contact sont en ligne droite avec le pôle.

3° Des points séparés harmoniquement du pôle par deux points de la courbe.

Nous avons vu qu'on peut déterminer la polaire d'un point donné de plusieurs manières et par de simples constructions linéaires. On trouvera avec la même facilité le pôle U d'une droite donnée //, en menant de deux points quelconques, R et S, de la droite, deux couples de tangentes, a et c, & et d, à la courbe du second ordre.

CONSTRUCTION DU POLE ET DE LÀ POLAIAE. PROPRIÉTÉS DIVERSES. Io5

Le pôle U est le point de concours :

I ® De tout rayon harmoniquement séparé de la droite u par les deux tangentes issues d'un même point de cette droite;

2° Des diagonales de tout quadrilatère formé par les quatre tangentes issues de deux points de la droite u ;

V^ De toute droite joignant les points de contact des deux tangentes issues d'un même point de u,

La droite RU est harmoniquement séparée de u par les tangentes a et c, puisque le point U de cette droite est harmoniquement séparé du point V de u par les points de contact A et C des deux tangentes. De même, la droite SU est harmoniquement séparée de u par les tangentes b et d. La première partie de la proposition est ainsi démontrée.

La deuxième partie est une conséquence immédiate de la première. En effet, dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes issues de deux points de la droite u, les diagonales se coupent au point d'intersection U des droites harmoniquement séparées de u par chaque couple de tangentes (32).

La troisième partie résulte du rapprochement de la deuxième et d'une propriété précédemment démontrée (80). On peut aussi la déduire directement de la deuxième.

Supposons, en effet, que le point S se déplace d'une manière continue sur la droite u et s'approche infiniment du point R. La diagonale qui joint les sommets ab et cd du quadrilatère pivotera en même temps autour du point U et s'approchera infiniment de la corde de contact AC des tangentes issues du point R. Cette corde, position limite de la diagonale, passe donc par le point U.

«Si la polaire u d'un point U coupe la courbe du second ordre, les deux droites qui joignent le point U aux points d'intersection sont tangentes à la courbe.

En effet, si l'une de ces droites avait un second point commun avec la courbe, ce second point devrait être harmoniquement séparé du premier par U et u; le premier ne pourrait donc pas se trouver sur u. La droite u, qui joint, dans ce cas, les points de contact des deux tangentes menées du point U à la courbe, est dite droite de contact du point U.

105. Nous pouvons exprimer tous ces résultats par la double proposition suivante :

Si par un point U, situé dans le plan d'une courbe k du second ordre, mais non sur la courbe, on mène à volonté des rayons, sur chacun des^ quels se trouvent deux points de Â; et si l'on détermine :

1* Dans tout quadrangle simple inscrit à la courbe, et dont les som^ mets sont deux couples de points situés sur deux rayons de U, les points d'intersection des côtés opposés;

2® Sur chaque rayon de U, le point qui est harmoniquement séparé de U par les deux points de la courbe ;

3° Les points d'intersection des couples de tangentes qui touchent la courbe en ses points de rencontre ai'ec chaque rayon de U;

4° Les points de contact des deux tangentes menées par le point J] à la courbe, si ce point est extérieur;

Tous ces points sont situés sur une droite u, qui prend le nom de polaire du point l] par rapport à la courbe du second ordre.

Si sur une droite u, située dans U plan d'une courbe k du second ordre, mais non tangente h la courbe, or prend à volonté des points^ en chacun desquels concourent deux tan* gentes à A; et si l'on détermine :

!• Dans tout quadrilatère simple circonscrit à la courbe, et dont les côtés sont deux couples de tangentes concourant en deux points de u, les diagonales ;

2° Pour chaque point de u, la droite qui est harmoniquement séparée de u par les deux tangentes à la courbe;

3' Les droites de jonction des couples de points où la courbe est touclue par les tangentes issues de chaque point de u ;

4° Les tangentes aux deux points d'intersection de la droite u avec la courbe, si cette dmite est sécante;

Toutes ces droites passent par un point U, qui prend le nom de pôle de la droite u par rapport à la courbe du second ordre^

106. Si Ton fait pivoter une transversale autour d'un point A, pris comme pôle sur la courbe du second ordre, Tun des points d'intersection se confond toujours avec ce pôle ; par suite, l'une des deux tangentes dont le point de concours doit engendrer la polaire est toujours la tangente au pôle. Donc :

Un point A de la courbe a pour polaire sa propre tangente a et, réciproquement, la tangente a a pour pôle son point de contact A.

Il résulte de là et de ce qui a été dit plus haut que,/7flr rapport

PONCTUELLES DE POLES ET FAISCEAUX DE POLAIRES. la;

à une courbe du second ordre, tout point du plan a sa polaire et toute droite son pôle.

n. — Région interne et région externe dn plan par rapport à la courbe

du second ordre.

107. Une courbe du second ordre divise le plan dans lequel elle se trouve en deux régions : Tune contenant les pôles de toutes les droites qui ne coupent pas la courbe, l'autre contenant les pôles de toutes les droites qui la coupent. La limite des deux régions est la courbe elle-même, considérée comme lieu géométrique des pôles de ses tangentes. La première région est dite interne par rapport à la courbe, la seconde externe. Des points de la région interne on ne peut pas mener de tangentes à la courbe ; par chaque point de la courbe passe une seule tangente ; dé chaque point de la région externe on peut mener deux tangentes.

Un point situé dans la région interne est harmoniquement séparé par la courbe de tout point de sa polaire, et toute droite passant par ce point coupe la courbe en deux points, tandis que la polaire ne rencontre pas la courbe.

Par contre, un point R, situé en dehors de la courbe, n'est pas séparé par celle-ci de tous les points de sa polaire ; mais les deux tangentes menées par R à la courbe limitent sur la polaire un segment dont tous les points sont harmoniquement séparés de R.

m. — Ponctuelles de pôles et faisceaux de polaires.

108. Les polaires de tous les Les pôles de tous les rayons d'un

points d'une droite tt passent par le pôle U de cette droite.

Tout point Q de II, intérieur à la courbe du second ordre, est harmoniquement séparé du pôle (extérieur) U par les deux points d'intersection du rayon UQ et de la courbe (105).

La polaire de Q passe donc par U.

Tout point R de u^ extérieur à la

point U sont situes sur la polaire u de ce point.

Tout rayon q de U, ne rencontrant pas la courbe du second ordre, est harmoniquement séparé de la polaire (sécante) u par les deux tangentes menées du point uq à la courbe. Le pôle de q est donc sur u.

Tout rayon r de U, rencontrant la

courbe, a pour polaire (sécante) la courbe, a pour pôle (extérieur) le

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corde de contict des deux tangentes dont il est l'intersection, et l'on a démontré que cette corde passe par le pAIe U de u.

Enfin, tout point de Uy situd sur la courbe, a pour polaire sa propre tangente (106), qui passe par U.

point de concours des tangentes en ses deux points d*intersection, et l'on a démontré que ce point de concours est sur la polaire u de U.

Enfin, toutrajon delJ, tangent à la courbe, a pour pôle son propre point de contact (106), qui est sitaé sur la droite u.

' 109. Soient P un point quelconque d'une droite u, p sa polaire, Q le point d'intersection de u et de p et (f la polaire de Q. Les droites /7 et (/ passent (108) par le pôle U de u. Les points P, Q, U sont les sommets d'un triangle et les droites p, y, u sont les côtés du même triangle respectivement opposés à ces sommets. Ce triangle, dans lequel chaque sommet est le pôle du côté opposé, prend le nom de triangle polaire de la courbe du second ordre.

Les triangles polaires donnent lieu à la double proposition suivante (105) :

Dans tout quadrangle complet inscrit à une courbe du second ordre, les trois couples de c6tés opposés se coupent aux sommets d'un triangle polaire de la courbe.

Dans tout quadrilatère complet circonscrit à une courbe du second ordre, les trois couples de sommets opposés sont situés sur les côtés d'mi triangle polaire de la courbe.

110. A chaque triangle polaire PQU correspondent une infinité de quadrangles inscrits à la courbe, et dont les couples de côtés opposés se coupent aux points P, Q, U. Menons par le point P une sécante qui rencontre la courbe aux points B et G. Joignons ces points au point U et prolongeons les droites BU, CU jusqu'à ce qu'elles rencontrent une seconde fois la courbe, respectivement en D et A. On voit aisément que ABGD est l'un des quadrangles en nombre infini dont nous venons de parler.

Cela posé, si l'on maintient fixes le point U elles sommets A, G du quadrangle inscrit, et si l'on déplace le point P sur la polaire u de U, le sommet Bse déplacera sur la courbe. Les droites PB, QB décriront par conséquent, autour des centres C, A, deux faisceaux projectifs de rayons ; les points P, Q décriront en même temps