SECTION DE DEUX SURFACES CONIQUES DU SECOND ORDRE, ETC

Vni. — Section de deux surfaces coniques du second ordre suivant une courbe du second ordre et position de deux courbes du second ordre sur une surface conique du même ordre.

163. Deux surfaces coniques du second ordre, qui ont des centres différents et qui sont touchées par un même plan suivant la droite de jonction s de leurs centres, se coupent suivant une courbe du second ordre.

Rapportons les surfaces coniques perspectivement au faisceau de plans f . Elles ont le rayon s uni, et deux autres rayons correspondants quelconques ont un point commun, puisqu'ils sont dans un même plan du faisceau s. Le plan qui contient trois quelconques de ces points communs aux couples de rayons correspondants coupe les surfaces coniques suivant deux courbes projeclives du second ordre, qui sont identiques, puisqu'elles ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois points, mais encore un point de s.

Deux courbes du second ordre placées dans des plans différents et touchées en un même point par la droite d'intersection s de leurs plans, sont situées sur une surface conique du second ordre.

Rapportons les faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent les courbes, perspectivement à la ponctuelle s. Us ont le rayon s uni, et deux autres rayons correspondants quelconques ont un plan commun, puisqu'ils passent par un même point de la ponctuelle s. Les faisceaux de rayons sont projetés, du point d'intersection de trois quelconques de ces plans communs aux couples do rayons correspondants, au moyen de deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui sont identiques, puisqu'ils ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois plans, mais encore un plan passant par s.

La démonstration peut être conduite plus simplement de la manière suivante :

Faisons passer à gauche un plan par trois points communs aux surfaces coniques. Les deux courbes d'intersection ainsi déterminées ont en commun ces trois points et le point d'intersection de s avec leur plan ; elles sont d'ailleurs touchées en ce dernier point par la droite suivant laquelle le plan tangent commun aux surfaces coniques est rencontré par le plan sécant. Les courbes d'intersection coïncident dès lors dans tous leurs points (72).

On démontrerait le théorème à droite d'une manière analogue.

GéOMBTRIB DE POSITION. — CHAPITIIB XII.

IX. — Identité des courbes du second ordre et des sections coniqaei.

164. Nous déduisons incidemment de ce qui précède que toute courbe du second ordre peut être considérée comme section d'un cône circulaire. On peut en effet placer , d^une infinité de manières, un cercle et une courbe du second ordre donnée, en telle position que ces deux courbes se touchent Tune Tautre et soient dans des plans différents, tout en reposant sur une même surface conique. Les courbes du second ordre sont donc identiques aux sections coniques (62), et nous pourrons, par la suite, leur appliquer cette dernière dénomination.

X. — Faisceau de rayons du premier ordre et courbe du second; ponctuelle et faisceau de rayons du second ordre, projectils, mais non perspectifs.

165.' «9/ une courbe s du second ordre est projecùve, mais non perspecitiT, à un faisceau S de rayons du premier ordre, situé dans son plan, trois rayons au plus du faisceau, mats un au moins, passent par les points de la courbe qui leur correspondent.

Si un faisceau de rayons du second ordre est projectif, mais non perspectif, à une ponctuelle située dans son plan^ trois points au plus de la ponctuelle, mais un au moins, sont situés sur les rayons du faisceau qui leur correspondent.

Tout faisceau de rayons S<, perspectif à la courbe s, et, par suite, projectif au faisceau S, engendre généralement avec celui-ci une deuxième courbe du second ordre, et tout point de s, situé sur le rayon de S qui lui correspond, est évidemment commun aux deux courbes.

Si plus de trois points de s reposaient sur les rayons correspondants de S, les deux courbes auraient, outre le point S|, quatre points communs au moins ; elles seraient par conséquent identiques et S serait perspectif à s, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, trois rayons au plus du faisceau S passent par les points de la courbe 5 qui leur correspondent.

Toute courbe du second ordre divisant le plan qui la contient en

COURBE PLANE ET COURBE GAUCHE DU TROISIÈUE ORDRE. FAISCEAU, ETC. l4l

deux parties distinctes (107), les deux courbes considérées doivent se toucher au point commun Si, ou bien se couper au point S| et, par suite, au moins en un second point P, car chacune d'elles se trouve alors, partie au dedans et partie au dehors de l'autre. Dans le premier cas, au rayon SS| de S correspond la tangente commune en S| et par conséquent le point S| de la courbe s situé sur SS|. Dans le second cas, les rayons SP, S|P se correspondent et SP passe conséquemment par le point P de la courbe s qui lui correspond. Donc un rayon du faisceau S passe par le point correspondant de la courbe s,

166. Les formes du premier et du second ordre, dans la gerbe, donnent lieu à des propositions tout à fait analogues. On en déduit que :

Si une forme fondamentale simple et une forme du second ordre sont projectiyenient rapportées entre elles, et si plus de trois éléments de tune passent par leurs correspondants de Vautre, les deux formes sont perspectives, et tout élément de l'une passe par son correspondant de l'autre.

Si la forme du second ordre est un système de droites génératrices d'une surface doublement rectiligne, et celle du premier ordre une ponctuelle ou un faisceau de plans, on dit qu'elles sont en position perspective lorsque trois rayons du système de droites passent par les trois points correspondants de la ponctuelle, ou reposent sur les trois plans correspondants du faisceau de plans. Le lieu de la ponctuelle, ou Taxe du faisceau de plans, est une génératrice du système, car il coupe trois rayons de celui-ci.

XI. — Courbe plane et conrbe gauche du troisième ordre. Faisceau de rayons et faisceau de plans du troisième ordre.

167. On reconnaîtra l'importance des précédentes propositions aux conséquences qui s'en déduisent :

Si une ponctuelle u et une courbe s du second ordre, qui lui est projective, sont situées dans un même plan.

Si un faisceau de rayons du pre* mier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, qui lui est projec-

GEOSIËTRIE DE POSITION. — GHAPITEE XII.

les droites de jonction des couples de points correspondants forment un

FAISCKAU DE RAYONS DU TROISliMB

ORDRE K^ qui a au moins un rayon commun, au plus trois rayons communs avec tout faisceau du premier ordre ne faisant pas partie du faisveau K.

tif sont situés dans un même plan^ les points d'intersection des coaples de rayons correspondants forment

une CODRRE DU TROISIÈME ORDRE kj

qui a au moins un point commun, au plus trois points communs avec toute droite du plan ne faisant pas partie de la courbe k.

En effet (à gauche), si S est une faisceau quelconque du premier ordre, perspectif à u et conséquemment projectif à s, tous les rayons de S, ou trois rayons au plus, ou un rayon au moins, passent par les points correspondants de s (16S).

Une surface conique du second ordre, ou un système de droites, enf^endrentf avec un faisceau de plans du premier ordre qui leur est projectif une COURBE gauche du troisième ORDRE dont un point au moins, trois points au plus, sont situés sur tout plan donné.

Un faisceau de rayons du second ordre, ou un système de droites, engendrent, avec une ponctuelle qui leur est projective, uw faisceau dl

PLANS DU TROISIÈME ORDRE dout Un

plan au moins, trois plans au plus, passent par tout point donné.

En effet (à gauche) tout pian coupe la surface conique, ou le système de droites, suivant une courbe du second ordre qui leur est perspective et dont un point au moins, trois points au plus sont situés, en général, sur les plans correspondants du faisceau (166).

168. Si la ponctuelle u et la courbe s du second ordre ont un point uni, chacun des rayons passant par ce point doit être considéré comme la droite de jonction de deux points correspondants en coïncidence, et Fensemble de ces rayons constitue un faisceau du premier ordre, qui est contenu tout entier dans le faisceau de rayons du troisième ordre. Les propositions suivantes doivent donc être considérées comme des cas particuliers de celles qu'on vient de démontrer.

Si une ponctuelle u et une courbe s du second ordre, qui lui est projec^ tive^ ont deux points A, B unis, elles

Si un faisceau de rayons du prc mier ordre et un faisceau de rayons du second, qui lui est projectif, ont